第四节 二次函数的基本性质姓名:________ 班级:________ 限时:______分钟1.抛物线y=ax2+2x+c的对称轴是直线( )A.x=-B.x=-C.x=D.x=2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则反比例函数y=与一次函数y=ax+b在同一坐标系内的大致图象是( )3.用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式为( )A.y=(x-4)2+7B.y=(x-4)2-25C.y=(x+4)2+7D.y=(x+4)2-254.对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3,当x=1时,y>0,则这条抛物线的顶点一定在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.(黄冈)当a≤x≤a+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为( )A.-1B.2C.0或2D.-1或26.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点( )A.(-3,-6)B.(-3,0)C.(-3,-5)D.(-3,-1)
7.对于题目“一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)与直线l:y=x+2有唯一公共点,若c为整数,确定所有c的值,”甲的结果是c=1,乙的结果是c=3或4,则( )A.甲的结果正确B.乙的结果正确C.甲、乙的结果合在一起才正确D.甲、乙的结果合在一起也不正确8.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,分析下列四个结论:①abc<0;②b2-4ac>0;③3a+c>0;④(a+c)2<b2,其中正确的结论有( )A.1个B.2个C.3个D.4个9.已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为( )A.3或6B.1或6C.1或3D.4或610.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)经过点(-1,0),(0,3),其对称轴在y轴右侧,有下列结论:①抛物线经过点(1,0);②方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根;③-3<a+b<3.其中,正确结论的个数为:( )A.0B.1C.2D.3
11如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),顶点坐标(1,n),与y轴的交点在(0,2),(0,3)之间(包含端点),则下列结论:①3a+b<0;②-1≤a≤-;③对于任意实数m,a+b≥am2+bm总成立;④关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根.其中结论正确的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个12.二次函数y=x2+mx+m-2的图象与x轴有________个交点.13.将抛物线y=3(x+1)2-2向右平移3个单位,再向上平移4个单位,那么得到的抛物线对应的函数表达式为________.14.如图,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),则方程ax2=bx+c的解是________.15.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴交于A,B两点,顶点P(m,n).给出下列结论:①2a+c<0;②若(-,y1),(-,y2),(,y3)在抛物线上,则y1>y2>y3;③关于x的方程ax2+bx+k=0有实数解,则k>c-n.其中正确结论是________.
16.已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A(0,3),B(-4,-)两点,(1)求b、c的值;(2)二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点?若有,求公共点的坐标;若没有,请说明理由.1.已知二次函数的图象以A(-1,4)为顶点,且过点B(2,-5).(1)求该函数的关系式;(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标;(3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△OA′B′的面积.
2.设二次函数y=ax2+bx-(a+b)(a,b是常数,a≠0).(1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数,说明理由;(2)若该二次函数图象经过A(-1,4),B(0,-1),C(1,1)三个点中的其中两个点,求该二次函数的表达式;(3)若a+b<0,点P(2,m)(m>0)在该二次函数图象上,求证:a>0.3.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的对称轴为直线x=-2.(1)b=________;(用含a的代数式表示)(2)当a=-1时,若关于x的方程ax2+bx+c=0在-3<x<1的范围内有解,求c的取值范围;(3)若抛物线过点(-2,-2),当-1≤x≤0时,抛物线上的点到x轴距离的最大值为4,求a的值.
4.在平面直角坐标系中,设二次函数y1=(x+a)(x-a-1),其中a≠0.(1)若函数y1的图象经过点(1,-2),求函数y1的表达式;(2)若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点,探究实数a,b满足的关系式;(3)已知点P(x0,m)和Q(1,n)在函数y1的图象上,若m<n,求x0的取值范围.5.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2-2(k-1)x+k2-k(k为常数).(1)若抛物线经过点(1,k2),求k的值;(2)若抛物线经过点(2k,y1)和点(2,y2),且y1>y2,求k的取值范围;(3)若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线,当1≤x≤2时,新抛物线对应的函数有最小值-,求k的值.
参考答案【基础训练】1.A 2.C 3.B 4.C 5.D 6.B 7.D 8.B 9.B 10.C11.D 12.2 13.y=3(x-2)2+2 14.x1=-2,x2=115.② 【解析】∵-<,a>0,∴a>-b,∵x=-1时,y>0,∴a-b+c>0,∴2a+c>a-b+c>0,故①错误;若(-,y1),(-,y2),(,y3)在抛物线上,由图象法可知,y1>y2>y3,故②正确;∵抛物线与直线y=t有交点时,方程ax2+bx+c=t有解,t≥n,∴ax2+bx+c-t=0有实数解,要使得ax2+bx+k=0有实数解,则k=c-t≤c-n,故③错误,故答案为②.16.解:(1)将点A(0,3),B(-4,-)代入二次函数解析式,得解得.(2)由(1)知,二次函数解析式为y=-x2+x+3,令y=0,得-x2+x+3=0,整理得x2-6x-16=0,解得x1=-2,x2=8,即该二次函数的图象与x轴有两个不同交点,坐标分别为(-2,0),(8,0).【拔高训练】1.解:(1)设函数关系式为顶点式y=a(x+1)2+4.将B(2,-5)代入得:a=-1.∴该函数的解析式为:y=-(x+1)2+4=-x2-2x+3.(2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3).令y=0,则-x2-2x+3=0,解得:x1=-3,x2
=1,即抛物线与x轴的交点为:(-3,0),(1,0).(3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧),由(2)知:M(-3,0),N(1,0).当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位.故A′(2,4),B′(5,-5),如解图.∴S△OA′B′=×(2+5)×9-×2×4-×5×5=15.2.(1)解:由题意Δ=b2-4·a[-(a+b)]=b2+4ab+4a2=(2a+b)2≥0,∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个.(2)解:∵当x=1时,y=a+b-(a+b)=0,∴抛物线不经过点C.把点A(-1,4),B(0,-1)分别代入,得解得∴抛物线对应的函数解析式为y=3x2-2x-1.(3)证明:当x=2时,m=4a+2b-(a+b)=3a+b>0①,∵a+b<0,∴-a-b>0②,①②相加得:2a>0,∴a>0.3.解:(1)4a;(2)当a=-1时,∵关于x的方程-x2-4x+c=0在-3<x<1的范围内有解,即关于x的方程x2+4x-c=0在-3<x<1的范围内有解,∴根的判别式=16+4c≥0,即c≥-4,抛物线y=x2+4x=(x+2)2-4与直线y=c在-3<x<1的范围内有交点.
当x=-2时,y=-4;当x=1时,y=5.由图象可知:-4≤c<5.(3)∵抛物线y=ax2+4ax+c过点(-2,-2),∴c=4a-2,∴抛物线对应的函数解析式为:y=ax2+4ax+4a-2=a(x+2)2-2.方法一:①当a>0时,抛物线开口向上.∵抛物线的对称轴为直线x=-2,∴当-1≤x≤0时,y随x增大而增大.∵抛物线上的点到x轴距离的最大值为4,由图象可知:4a-2=4.∴a=.②当a<0时,抛物线开口向下.∵抛物线对称轴为直线x=-2,∴当-1≤x≤0时,y随x增大而减小.∵抛物线上的点到x轴距离的最大值为4,由图象可知:4a-2=-4.∴a=-.综上所述:a=或a=-.4.解:(1)函数y1的图象经过点(1,-2),将其代入得(a+1)(-a)=-2,解得a1=-2,a2=1,当a=-2时,y1=(x-2)(x+2-1),化为一般式得y=x2-x-2,当a=1时,y1=(x+1)(x-2),化为一般式得y1=x2-x-2,综上所述,函数y1的表达式为y1=x2-x-2;(2)函数y1=(x+a)(x-a-1)的图象与x轴的交点为(-a,0),(a+1,0),①当函数y2=ax+b的图象经过点(-a,0)时,
把x=-a,y=0代入y2=ax+b中,得a2=b;②当函数y2=ax+b的图象经过点(a+1,0)时,把x=a+1,y=0代入y2=ax+b中,得a2+a=-b;(3)抛物线y1=(x+a)(x-a-1)的对称轴是直线x==,∵二次项系数1>0,∴抛物线的开口向上,∴抛物线上的点离对称轴的距离越大,它的纵坐标值也越大,∵m<n,∴点Q离对称轴x=的距离比点P离对称轴x=的距离大,∴|x0-|<1-,∴0<x0<1.5.解:(1)∵抛物线y=x2-2(k-1)x+k2-k(k为常数)经过点(1,k2),∴1-2(k-1)+k2-k=k2.解得k=.(2)∵抛物线经过点(2k,y1)和点(2,y2),∴y1=(2k)2-4k(k-1)+k2-k=k2+k,y2=4-4(k-1)+k2-k=k2-k+8;又∵y1>y2,∴k2+k>k2-k+8,解得k>1.(3)∵抛物线y=x2-2(k-1)x+k2-k=(x-k+1)2-k-1,∴平移后的解析式为y=(x-k)2-k-1.
∴该抛物线的对称轴为直线x=k.①若k<1,则当x=1时,y有最小值-.∴(1-k)2-k-1=-,解得k1=1,k2=.∵k<1,∴k1=1.②若1≤k≤2,则当x=k时,y有最小值-.∴-k-1=-,解得k=1.③若k>2,则当x=2时,y有最小值-.∴(2-k)2-k-1=-,解得k1=3,k2=.∵k>2,∴k=3.综上,k的值为1或3.