浙教版八年级数学上册《2.5逆命题和逆定理》练习 (含答案)

2.5逆命题和逆定理A组1．下列说法中，正确的是(A)A．每一个命题都有逆命题B．假命题的逆命题一定是假命题C．每一个定理都有逆定理D．假命题没有逆命题2．下列命题的逆命题为真命题的是(C)A．直角都相等B．钝角都小于180°C．若x2＋y2＝0，则x＝y＝0D．同位角相等3．下列定理中，有逆定理的是(D)A．对顶角相等B．同角的余角相等C．全等三角形的对应角相等D．在一个三角形中，等边对等角(第4题)4．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(A)A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB5．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假，若是假命题，请举出反例．(1)若x＝y＝0，则x＋y＝0．(2)等腰三角形的两个底角相等．【解】 (1)逆命题：若x＋y＝0，则x＝y＝0．这个逆命题是假命题．反例：当x＝－1，y＝1时，x＋y＝0，但x≠0，y≠0．(2)逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形．这个逆命题是真命题．6．写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理．(1)相等的角是内错角．(2)两直线平行，同旁内角互补．【解】 (1)“相等的角是内错角”的逆命题为“内错角相等”，原命题与逆命题都是假命题，不是互逆定理．(2)“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题为“同旁内角互补，两直线平行”，原命题和逆命题是互逆定理． (第7题)7．利用线段垂直平分线性质定理及其逆定理证明以下命题．已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上．求证：EB＝EC．【解】 连结BC．∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上．∵DB＝DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上．∴AD是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线)．又∵点E在AD上，∴EB＝EC．B组8．写出命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．若是假命题，请举出反例．【解】 逆命题：如果两个角相等，那么其中一个角的两边与另一个角的两边分别垂直．原命题是假命题．反例：如解图①，∠CAD的两边与∠EBF的两边分别垂直，但∠CAD＝45°，∠EBF＝135°，即∠CAD≠∠EBF．(第8题解)逆命题是假命题．反例：如解图②，∠CAD＝∠EBF，但显然AC与BE，BF都不垂直．9．写出命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的逆命题，并证明该逆命题是真命题．【解】 逆命题：如果一个三角形一边上的中点到另两边的距离相等，那么这个三角形是等腰三角形．已知：如解图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE＝DF．  (第9题解)求证：△ABC为等腰三角形．证明：连结AD．∵D是BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴S△ABD＝AB·DE，S△ACD＝AC·DF．又∵DE＝DF，∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形．10．举反例说明定理“全等三角形的面积相等”没有逆定理．【解】 逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．反例：如解图所示，l1∥l2，△ABC和△BCD同底等高，∴△ABC的面积等于△BCD的面积，但△ABC和△BCD不全等．故该定理没有逆定理．(第10题解)数学乐园11．已知命题“等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线重合”，写出它的逆命题，判断该逆命题的真假，并证明．【解】 逆命题：一边上的中线与它所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．是真命题．(第11题解)已知：如解图，在△ABC中，BD＝CD，AD平分∠BAC．求证：△ABC是等腰三角形．证明：延长AD至点E，使DE＝AD，连结BE，CE．∵BD＝CD，DE＝DA，∠BDE＝∠CDA， ∴△BDE≌△CDA(SAS)．∴BE＝CA，∠BED＝∠CAD．∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD．∴∠BAD＝∠BED．∴AB＝BE．∴AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形．