中考数学一轮总复习02《整式与因式分解》知识讲解+巩固练习（基础版）（含答案）

中考总复习：整式与因式分解—知识讲解（基础）【考纲要求】1.整式部分主要考查幂的性质、整式的有关计算、乘法公式的运用，多以选择题、填空题的形式出现；2.因式分解是中考必考内容，题型多以选择题和填空题为主，也常常渗透在一元二次方程和分式的化简中进行考查.【知识网络】 【考点梳理】考点一、整式1.单项式　　数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数．单独一个数或一个字母也是单项式．要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．2.多项式　　几个单项式的代数和叫做多项式．也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的．要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．（4）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．3.整式　　单项式和多项式统称整式．4.同类项　　所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项．5.整式的加减　　整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用．　　把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.　　如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.　　整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.6.整式的乘除　　①幂的运算性质：　　　　　②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．　　③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：　　④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：　　　平方差公式： 完全平方公式：　　　　　　在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.　　⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．　　⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即（都是正整数）.（3）公式的推广：(，均为正整数)（4）公式的推广：(为正整数).考点二、因式分解1.因式分解　　把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解．2.因式分解常用的方法（1）提取公因式法：（2）运用公式法：平方差公式：；完全平方公式：（3）十字相乘法：3.因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；（4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法.要点诠释：（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到每个因式都不能再分解为止．（4）十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 【典型例题】类型一、整式的有关概念及运算1．若3xm+5y2与x3yn的和是单项式，则nm．【答案】【解析】由3xm+5y2与x3yn的和是单项式得3xm+5y2与x3yn是同类项，∴解得，nm=2-2=【点评】本题考查同类项定义结合求解二元一次方程组，负整数指数幂的计算.　　同类项的概念为：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式.举一反三：【变式】若单项式是同类项，则的值是(　)　A、-3　　　B、-1　　　C、　　　D、3【答案】由题意单项式是同类项，　　　　所以，解得，，应选C.2．下列各式中正确的是(　)　　A.　　　B.a2·a3=a6　　　C.(-3a2)3=-9a6　　　D.a5+a3=a8　　【答案】A；【解析】选项B为同底数幂乘法，底数不变，指数相加，a2·a3=a5，所以B错；选项C为积的乘方，应把每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，(-3a2)3=-27a6，所以C错；选项D为两个单项式的和，此两项不是同类项，不能合并，所以D错；选项A为负指数幂运算，一个数的负指数幂等于它的正指数幂的倒数，A正确.答案选A.【点评】考查整数指数幂运算.举一反三：【变式1】下列运算正确的是()A．        B．        C．    D．【答案】A.2-3=；B.；C.正确；D..故选C. 【高清课程名称：整式与因式分解高清ID号：399488关联的位置名称（播放点名称）：例1-例2】【变式2】下列运算中，计算结果正确的个数是()．(1)a4·a3＝a12；(2)a6÷a3＝a2；(3)a5＋a5＝a10；(4)(a3)2＝a9；(5)(－ab2)2＝ab4；(6)A．无B．1个C．2个D．3个【答案】A.3．利用乘法公式计算：　　(1)(a+b+c)2(2)(2a2-3b2+2)(2-2a2+3b2)【答案与解析】(1)(a+b+c)2可以利用完全平方公式，将a+b看成一项，则　　　　(a+b+c)2=[(a+b)2+2(a+b)c+c2]　　　　　　=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2　　　　　=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.　　(2)(2a2-3b2+2)(2-2a2+3b2)两个多项式中，每一项都只有符号的区别，所以，我们考虑用平方差公式，将符号相同的看作公式中的a，将符号相反的项，看成公式中的b，　　原式=[2+(2a2-3b2)][2-(2a2-3b2)]　　=4-(2a2-3b2)2=4-4a4+12a2b2-9b4.【点评】利用乘法公式去计算时，要特别注意公式的形式及符号特点，灵活地进行各种变形.举一反三：【变式】如果a2+ma+9是一个完全平方式，那么m=______.【答案】利用完全平方公式：(a±3)2=a2±6a+9.m=±6.类型二、因式分解4．（2015春•兴化市校级期末）因式分解（1）9x2﹣81（2）（x2+y2）2﹣4x2y2（3）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）（4）6mn2﹣9m2n﹣n3．【思路点拨】（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；（4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法.【答案与解析】解：（1）原式=9（x2﹣9）=9（x+3）（x﹣3）； （2）原式=（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy）=（x+y）2（x﹣y）2；（3）原式=3（a﹣b）（x+2y）；（4）原式=﹣n（9m2+n2﹣6mn）=﹣n（3m﹣n）2．【点评】把一个多项式进行因式分解，首先要看多项式是否有公因式，有公因式就要先提取公因式，再看是否还可以继续进行分解，是否可以利用公式法进行分解，直到不能进行分解为止.举一反三：【高清课程名称：整式与因式分解高清ID号：399488关联的位置名称（播放点名称）：例3（1）-（2）】【变式】（2015春•陕西校级期末）分解因式：（1）（2x+y）2﹣（x+2y）2（2）﹣8a2b+2a3+8ab2．【答案】解：（1）原式=[（2x+y）+（x+2y）][（2x+y）﹣（x+2y）]=3（x+y）（x﹣y）；（2）原式=2a（a2﹣4ab+4b2）=2a（a﹣2b）2．5．若能分解为两个一次因式的积，则m的值为（）A.1B.-1C.D.2【思路点拨】对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法.【答案】C.【解析】解：-6可分解成或，因此，存在两种情况：由（1）可得：，由（2）可得：.故选择C.【总结升华】十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.举一反三：【变式】因式分解：_______________.【答案】 类型三、因式分解与其他知识的综合运用6．已知a、b、c是△ABC的三边的长,且满足:a2+2b2+c2-2b(a+c)=0,试判断此三角形的形状.【思路点拨】式子a2+2b2+c2-2b(a+c)=0体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，把2b2写成b2+b2，故等式可变成2个完全平方式，从而得到结论．【答案与解析】解:a2+2b2+c2-2b(a+c)=0a2+b2+b2+c2-2ba-2bc=0(a-b)2+(b-c)2=0即:a-b=0,b-c=0，所以a=b=c.所以△ABC是等边三角形.【总结升华】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系．中考总复习：整式与因式分解—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.下列计算中错误的是()A.B.C.D.2.已知与一个多项式之积是，则这个多项式是()A.B.C.D.3．把代数式分解因式，下列结果中正确的是（）A．     B．      C．      D．4．（2015•佛山）若（x+2）（x﹣1）=x2+mx+n，则m+n=（　　）A．1B．﹣2C．﹣1D．25.如果，则为(　)A．5　　　B．－6　　　C．－5　　　D．66．把进行分组，其结果正确的是（） 　A.　　B.　C.　　D.二、填空题7．已知，则的值为．8．(1)已知＝3，＝2，__________．(2)已知＝6，＝8，___________．9．分解因式：_________________．10．（2015秋•乌海校级期中）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证　　（填写序号）．①（a+b）2=a2+2ab+b2②（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2③a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）④（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2．11．多项式可分解为，则,的值分别为_________.12.分解因式：＝________.三、解答题13．将下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）.14.（2015春•故城县期末）（1）实验与观察：（用“＞”、“=”或“＜”填空）当x=﹣5时，代数式x2﹣2x+2　　1；当x=1时，代数式x2﹣2x+2　　1；…（2）归纳与证明：换几个数再试试，你发现了什么？请写出来并证明它是正确的；（3）拓展与应用：求代数式a2+b2﹣6a﹣8b+30的最小值．15.已知，求下列代数式的值：(1)；(2). 16.若三角形的三边长是，且满足，试判断三角形的形状.小明是这样做的：解：∵，∴.即∵，∴.∴该三角形是等边三角形.仿照小明的解法解答问题：已知：为三角形的三条边，且，试判断三角形的形状.【答案与解析】一、选择题1.【答案】D；【解析】.2.【答案】C；【解析】这个多项式为.3.【答案】D；【解析】运用提取公因式法和公式法因式分解.4.【答案】C；【解析】∵原式=x2+x﹣2=x2+mx+n，∴m=1，n=﹣2．∴m+n=1﹣2=﹣1．故选：C．5.【答案】B；【解析】由题意.6.【答案】D；【解析】原式＝.二、填空题7．【答案】5；【解析】由得．∴．8．【答案】(1)；(2)； 【解析】（1）；（2）.9．【答案】；【解析】原式令，.10．【答案】 ③；【解析】∵图甲中阴影部分的面积=a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积=（a+b）（a﹣b），而两个图形中阴影部分的面积相等，∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故可以验证③．故答案为：③．11．【答案】；【解析】，所以，.12.【答案】；【解析】.三、解答题13.【答案与解析】（1）；（2）.（3）；（4）因为所以：原式        14.【答案与解析】解：（1）把x=﹣5代入x2﹣2x+2中得：25+10﹣2=33＞1；把x=1代入x2﹣2x+2中得：1﹣2+1=1，故答案为：＞，=；（2）∵x2﹣2x+2=x2﹣2x+1+1=（x﹣1）2+1，X为任何实数时，（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2+1≥1；（3）a2+b2﹣6a﹣8b+30=（a﹣3）2+（b﹣4）2+5．∵（a﹣3）2≥0，（b﹣4）2≥0，∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+5≥5，∴代数式a2+b2﹣6a﹣8b+30的最小值是5．15.【答案与解析】（1）∴.（2）已知两边同除以，得∴∴.16.【答案与解析】∵∴∴∴，该三角形是等边三角形.