中考数学一轮总复习23《正多边形与圆的有关的证明和计算》知识讲解+巩固练习（基础版）（含答案）

中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算—知识讲解（基础）【考纲要求】1．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；2．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【考点梳理】考点一、正多边形和圆1、正多边形的有关概念：(1)正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.　　(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.　　(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.　　(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径）　　(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.2、正多边形与圆的关系：　　(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.　　(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.　（3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3、正多边形性质：　　(1)任何正多边形都有一个外接圆.　　(2)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心. (3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.要点诠释：（1）正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是；所以正n边形的中心角等于它的外角.（2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比.考点二、圆中有关计算1．圆中有关计算　　圆的面积公式：，周长.　　圆心角为、半径为R的弧长.　　圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.　　弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.　　圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.　　圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：　　(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；　　(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.　　(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式 有点类似，可类比记忆；　　(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、正多边形有关计算1．（2015•镇江）图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于　．【思路点拨】（1）作AE的垂直平分线交⊙O于C，G，作∠AOG，∠EOG的角平分线，分别交⊙O于H，F，反向延长FO，HO，分别交⊙O于D，B顺次连接A，B，C，D，E，F，G，H，八边形ABCDEFGH即为所求；（2）由八边形ABCDEFGH是正八边形，求得∠AOD=3=135°得到的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，根据圆的周长的公式即可求得结论．【答案与解析】（1）如图所示，八边形ABCDEFGH即为所求，（2）∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴∠AOD=3=135°，∵OA=5，∴的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，∴2πR=，∴R=，即这个圆锥底面圆的半径为．故答案为：． 【总结升华】本题考查了尺规作图，圆内接八边形的性质，弧长的计算，圆的周长公式的应用，会求八边形的内角的度数是解题的关键．举一反三：【变式1】如图是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图，则其最高点与地面的距离是______米．【答案】.解析：如图，以三个圆心为顶点等边三角形O1O2O3的高O1C＝，所以AB＝AO1+O1C+BC＝．【高清课堂：正多边形与圆的有关证明与计算自主学习4】【变式2】同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长的比是__________.【答案】【高清课堂：正多边形与圆的有关证明与计算自主学习2】【变式3】（2015•广西自主招生）一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为2，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（　　） A．5：4B．5：2C．：2D．：【答案】A.【解析】解：如图1，连接OD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=2，∵∠AOB=45°，∴OB=AB=2，由勾股定理得：OD==2，∴扇形的面积是=π；如图2，连接MB、MC，∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形，∴∠BMC=90°，MB=MC，∴∠MCB=∠MBC=45°，∵BC=2，∴MC=MB=，∴⊙M的面积是π×（）2=2π，∴扇形和圆形纸板的面积比是π÷（2π）=．故选：A． 类型二、正多边形与圆有关面积的计算2．(1)如图(a)，扇形OAB的圆心角为90°，分别以OA，OB为直径在扇形内作半圆，P和Q分别表示阴影部分的面积，那么P和Q的大小关系是()．A．P＝QB．P＞QC．P＜QD．无法确定(2)如图(b)，△ABC为等腰直角三角形，AC＝3，以BC为直径的半圆与斜边AB交于点D，则图中阴影部分的面积是________．(3)如图(c)，△AOB中，OA＝3cm，OB＝1cm，将△AOB绕点O逆时针旋转90°到△A′OB′，求AB扫过的区域(图中阴影部分)的面积．(结果保留π)【思路点拨】直接使用公式计算阴影部分面积比较困难时，可采用和差法、转化法、方程法等，有时也需要运用变换的观点来解决问题．【答案与解析】解：(1)阴影部分的面积直接求出十分困难，可利用几个图形面积的和差进行计算：；(2)(转化法“凑整”)利用，则阴影部分的面积可转化为△ACD的面积，等于△ABC面积的一半，答案为；(3)(旋转法)将图形ABM绕点O逆时针旋转到A′B′M′位置，则．【总结升华】求阴影面积的几种常用方(1)公式法；(2)割补法；（3）旋转法；(4)拼凑法；(5)等积变形法；(6)构造方程法．举一反三：【变式】如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＝8，BC＝ 12，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是()A．B．C．D．【答案】解：如图，由AB，AC为直径可得AD⊥BC，则BD＝DC＝6．在Rt△ABD中，，∴．答案选D.3．如图所示，A是半径为2的⊙O外一点，OA＝4，AB是⊙O的切线，B为切点，弦BC∥OA，连AC，求阴影部分的面积．【思路点拨】图中的阴影是不规则图形，不易直接求出，如果连接OB、OC，由BC∥OA，根据同底等高的三角形面积相等，于是所求阴影可化为扇形OBC去求解．【答案与解析】解：如图所示，连OB、OC∵BC∥OA．∴△OBC和△ABC同底等高，∴S△ABC＝S△OBC，∴∵AB为⊙O的切线，∴OB⊥AB．∵OA＝4，OB＝2，∴∠AOB＝60°． ∵BC∥OA，∴∠AOB＝∠OBC＝60°．∵OB＝OC，∴△OBC为正三角形．∴∠COB＝60°，∴．【总结升华】通过等积替换化不规则图形为规则图形，在等积转化中①可根据平移、旋转或轴对称等图形变换；②可根据同底（等底）同高（等高）的三角形面积相等进行转化．举一反三：【变式】如图所示，半圆的直径AB＝10，P为AB上一点，点C，D为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于________．【答案】解：连接OC、OD、CD．∵C、D为半圆的三等分点，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝．又∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝60°，∴DC∥AB，∴，∴． 4．（2015秋•江都市期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆与对角线AC交于点E．（1）求弧BE所对的圆心角的度数．（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．【思路点拨】（1）连接OE，由条件可求得∠EAB=45°，利用圆周角定理可知弧BE所对的圆心角∠EOB=2∠EAB=90°；（2）利用条件可求得扇形AOE的面积，进一步求得弓形的面积，利用Rt△ADC的面积减去弓的面积可求得阴影部分的面积．【答案与解析】解：（1）连接OE，∵四边形ABCD为正方形，∴∠EAB=45°，∴∠EOB=2∠EAB=90°；（2）由（1）∠EOB=90°，且AB=4，则OA=2，∴S扇形AOE==π，S△AOE=OA2=2，∴S弓形=S扇形AOE﹣S△AOE=π﹣2，又∵S△ACD=AD•CD=×4×4=8，∴S阴影=8﹣（π﹣2）=10﹣π．【总结升华】本题主要考查扇形面积的计算和正方形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键，注意弓形面积的计算方法．5．将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分（阴影）的量角器圆弧（）对应的中心角（∠AOB）为120°，AO的长为4cm，求图中阴影部分的面积. 【思路点拨】看是否由“规则的”三角形、四边形、圆、扇形、弓形等可求面积的图形，经过怎样的拼凑、割补、叠合而成，这是解决这类题的关键．【答案与解析】阴影部分的面积可看成是由一个扇形AOB和一个Rt△BOC组成，其中扇形AOB的中心角是，AO的长为4，Rt△BOC中，OB＝OA＝4，∠BOC＝60°，∴可求得BC长和OC长，从而可求得面积，阴影部分面积＝扇形AOB面积+△BOC面积＝．【总结升华】本题是求简单组合图形的面积问题，解答时，常常是寻找这些“不规则的图形”是由哪些“可求面积的、规则的图形”组合而成.举一反三：【变式】如图，矩形ABCD中，AB＝1，．以AD的长为半径的⊙A交BC于点E，则图中阴影部分的面积为________．【答案】.解析：连接AE，易证AB＝BE＝1，∠BAE＝45°，所以∠EAD＝45°，所以．6．如图，AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，连接AC，过点O作AC的垂线交AC于点D，交⊙O于点E．已知AB﹦8，∠P=30°．（1）求线段PC的长；（2）求阴影部分的面积． 【思路点拨】（1）连接OC，由PC为圆O的切线，根据切线的性质得到OC与PC垂直，可得三角形OCP为直角三角形，同时由直径AB的长求出半径OC的长，根据锐角三角函数定义得到tanP为∠P的对边OC与邻边PC的比值，根据∠P的度数，利用特殊角的三角函数值求出tanP的值，由tanP及OC的值，可得出PC的长；（2）由直角三角形中∠P的度数，根据直角三角形的两个锐角互余求出∠AOC的度数，进而得出∠BOC的度数，由OD与BC垂直，且OC=OB，利用等腰三角形的三线合一得到OD为∠BOC的平分线，可求出∠COD度数为60°，再根据直角三角形中两锐角互余求出∠OCD度数为30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由斜边OC的长求出OD的长，先由∠COD的度数及半径OC的长，利用扇形的面积公式求出扇形COE的面积，再由OD与CD的长，利用直角三角形两直角边乘积的一半求出直角三角形COD的面积，用扇形COE的面积减去三角形COD的面积，即可求出阴影部分的面积．【答案与解析】解：（1）连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∵AB=8，∴OC=AB=4，又在直角三角形OCP中，∠P=30°，∴tanP=tan30°=，即PC==4；（2）∵∠OCP=90°，∠P=30°，∴∠COP=60°，∴∠AOC=120°，又AC⊥OE，OA=OC，∴OD为∠AOC的平分线，∴∠COE=∠AOC=60°，又半径OC=4，∴S扇形OCE=，在Rt△OCD中，∠COD=60°，∴∠OCD=30°，∴OD=OC=2，根据勾股定理得：CD=， ∴S△OCD=DC•OD=×2×2=2，则S阴影=S扇形OCE-S△OCD=．【总结升华】此题考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，以及扇形的面积公式，遇到已知切线的类型题时，常常连接圆心与切点，利用切线的性质得出垂直，利用直角三角形的性质来解决问题．中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．在半径为12的⊙O中，60°的圆心角所对的弧长是（）A．6πB．4πC．2πD．π2．一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是（）A．1B．C．D．3．如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为()A．2B．3C．D．4．已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为9，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的底面半径等于()A．9B．27C．3D．105．如图所示．在△ABC中，AB＝AC，AB＝8，BC＝12，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D． 6．（2015•金华）如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（　　）A．B．C．D．2二、填空题7．已知扇形的半径为3cm，面积为3πcm2，则扇形的圆心角是________，扇形的弧长是________cm（结果保留π）.8．如果圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，那么它的侧面积等于________cm2．9．如图所示，ABCD是各边长都大于2的四边形，分别以它的顶点为圆心，1为半径画弧(弧的端点分别在四边形的相邻两边上)，则这4条弧长的和是________．10．如图所示，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，以AD的长为半径的⊙A交BC于点E，则图中阴影部分的面积为________．11．如图所示，如果从半径为3cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的体积是________． 12．（2015•建邺区二模）如图，在半径为2的⊙O中，两个顶点重合的内接正四边形与正六边形，则阴影部分的面积为　　．三、解答题13．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝4，BC＝6，以A为圆心在梯形内画出一个最大的扇形(图中阴影部分)，求阴影部分的面积及扇形的弧长．14.如图所示，已知在⊙O中，AB＝，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A＝30°．(1)求图中阴影部分的面积；(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．15．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)求证：；(3)点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝4，求MN·MC的值． 16.（2015秋•泰兴市校级月考）如图，纸片ABCD是一个菱形，其边长为2，∠BAD=120°．以点A为圆心的扇形与边BC相切于点E，与AB、AD分别相交于点F、G；（1）请你判断所作的扇形与边CD的位置关系，并说明理由；（2）若以所作出的扇形为侧面围成一个圆锥，求该圆锥的全面积．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】直接用公式.2.【答案】C；【解析】，∴．3.【答案】D；4.【答案】C；【解析】设该圆锥的底面半径为r，则，解得r＝3．5.【答案】D；【解析】可转化为以AB为直径的圆的面积减去△ABC的面积．6.【答案】C；【解析】如图，连接AC、BD、OF，设⊙O的半径是r，则OF=r，∵AO是∠EAF的平分线，∴∠OAF=60°÷2=30°，∵OA=OF，∴∠OFA=∠OAF=30°，∴∠COF=30°+30°=60°，∴FI=r•sin60°=，∴EF=，∵AO=2OI，∴OI=，CI=r﹣=， ∴，∴，∴=，即则的值是．故选：C．二、填空题7．【答案】120°，2π；【解析】直接代公式，.8．【答案】18π；【解析】圆锥的侧面积公式为S＝πra，所以S＝π×3×6＝18π(cm2)．9．【答案】6π；【解析】4条弧长的和可以看作是4个圆的周长减去四个圆在四边形ABCD内的四条弧的长，又由∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∴四边形ABCD内的四条孤长的和为一个圆的周长，所以所求的四条弧长之和为3个圆的周长：3×2πr＝3×2π×1＝6π．10．【答案】；【解析】连接AE，易证AB＝BE＝1，∠AEB＝45°，∴∠EAD＝45°，∴．11．【答案】；【解析】可求圆锥底面半径，高，代公式．12．【答案】6﹣2；【解析】如图，连接OB，OF，根据题意得：△BFO是等边三角形，△CDE是等腰直角三角形，∴BF=OB=2，∴△BFO的高为；，CD=2（2﹣）=4﹣2，∴BC=（2﹣4+2）=﹣1，∴阴影部分的面积=4S△ABC=4×（）•=6﹣2． 故答案为：6﹣2．三、解答题13.【答案与解析】解设切点为E，连接AE，则AE⊥BC．∵∠C＝∠D＝90°，∴四边形ADCE是矩形．∴CE＝AD＝4．∵BC＝6，∴BE＝2．∵BE＝AB，∴∠BAE＝30°，AE＝．∴∠DAB＝120°．∴．．14.【答案与解析】解：（1）连BC，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵AB＝，∠A＝30°，∴AC＝2BC，由勾股定理可求AC＝8，又易求∠BOD＝120°，∴．（2）设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr，∴，∴． 15.【答案与解析】(1)证明：∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO．∵∠COB＝∠A+∠ACO，∴∠COB＝2∠A，∵∠COB＝2∠PCB，∴∠A＝∠ACO＝∠PCB．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB＝90°．∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP．∵OC是⊙O的直径，∴PC是⊙O的切线．(2)证明：∵PC＝AC，∴∠A＝∠P，∴∠A＝∠ACO＝∠PCB＝∠P．∵∠COB＝∠A+∠ACO，∠CBO＝∠P+∠PCB，∴∠CBO＝∠COB．∴BC＝OC，∵，∴．(3)解：如图，连接MA，MB．∵点M是的中点，∴，∴∠BCM＝∠ABM．∵∠BMC＝∠BMN，∴△MBN∽△MCB，∴，∴BM2＝MC·MN．∵AB是⊙O的直径，，∴∠AMB＝90°，AM＝BM．∵AB＝4，∴，∴MC·MN＝BM2＝8．16.【答案与解析】解：（1）相切；证明：连接AE、AC，过点A作AH⊥CD，垂足为H，∵CB与⊙A相切， ∴AE⊥BC，∵四边形ABCD为菱形，∴AC平分∠BAD，∴AE=AH，∴扇形与边CD相切；（2）∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，∴△ABC是等边三角形，又其边长为2，∴AE=，∴的长为=π，则圆锥的侧面积为：×π×=π，设圆锥的底半径为r，2πr=π，解得，r=，则圆锥的底面积为：π×（）2=，该圆锥的全面积=π+=π．