中考总复习:图形的变换--知识讲解(基础)【考纲要求】1.通过具体实例认识轴对称、平移、旋转,探索它们的基本性质;2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称、平移、旋转后的图形,能作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形;3.探索基本图形(等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆)的轴对称性质及其相关性质.4.探索图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合);5.利用轴对称、平移、旋转及其组合进行图案设计;认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用.【知识网络】【考点梳理】考点一、平移变换1.平移的概念:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移,平移不改变图形的形状和大小.【要点诠释】(1)平移是运动的一种形式,是图形变换的一种,本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换;(2)图形的平移有两个要素:一是图形平移的方向,二是图形平移的距离,这两个要素是图形平移的依据;(3)图形的平移是指图形整体的平移,经过平移后的图形,与原图形相比,只改变了位置,而不改变图形的大小,这个特征是得出图形平移的基本性质的依据.2.平移的基本性质:由平移的概念知,经过平移,图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离,平移不改变图形的形状和大小,因此平移具有下列性质:经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应角相等.【要点诠释】(1)要注意正确找出“对应线段,对应角”,从而正确表达基本性质的特征;(2)“对应点所连的线段平行且相等”,这个基本性质既可作为平移图形之间的性质,又可作为平移作图的依据.考点二、轴对称变换1.轴对称与轴对称图形 轴对称:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,也叫做这两个图形成轴对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的对应点,叫做对称点. 轴对称图形:
把一个图形沿着某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形.2.轴对称变换的性质 ①关于直线对称的两个图形是全等图形. ②如果两个图形关于某直线对称,对称轴是对应点连线的垂直平分线. ③两个图形关于某直线对称,如果它们对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上. ④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称.3.轴对称作图步骤 ①找出已知图形的关键点,过关键点作对称轴的垂线,并延长至2倍,得到各点的对称点. ②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.考点三、旋转变换1.旋转概念:把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角.2.旋转变换的性质 图形通过旋转,图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度,任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相等,旋转过程中,图形的形状、大小都没有发生变化.3.旋转作图步骤 ①分析题目要求,找出旋转中心,确定旋转角. ②分析所作图形,找出构成图形的关键点. ③沿一定的方向,按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点. ④按原图形连结方式顺次连结各对应点.4.中心对称与中心对称图形 中心对称: 把一个图形绕着某一点旋转180°,它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心,这两个图形中的对应点叫做关于中心对称的对称点. 中心对称图形: 把一个图形绕着某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫中心对称图形.5.中心对称作图步骤 ①连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心,并且延长至2倍,得到各点的对称点. ②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.【要点诠释】图形变换与图案设计的基本步骤①确定图案的设计主题及要求;②分析设计图案所给定的基本图案;③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换,实现由基本图案到各部分图案的有机组合;④对图案进行修饰,完成图案.【典型例题】类型一、平移变换1.如图1,两个等边△ABD,△CBD的边长均为1,将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置,得到图2,则阴影部分的周长为____________.
【思路点拨】根据两个等边△ABD,△CBD的边长均为1,将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置,得出线段之间的相等关系,进而得出OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2,即可得出答案.【答案与解析】∵两个等边△ABD,△CBD的边长均为1,将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置,∴A′M=A′N=MN,MO=DM=DO,OD′=D′E=OE,EG=EC=GC,B′G=RG=RB′,∴OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2;【总结升华】此题主要考查了平移的性质以及等边三角形的性质,根据题意得出A′M=A′N=MN,MO=DM=DO,OD′=D′E=OE,EG=EC=GC,B′G=RG=RB′是解决问题的关键.举一反三:【变式】(2015•顺义区一模)如图,平行四边形ABCD中,点E是AD边上一点,且CE⊥BD于点F,将△DEC沿从D到A的方向平移,使点D与点A重合,点E平移后的点记为G.(1)画出△DEC平移后的三角形;(2)若BC=,BD=6,CE=3,求AG的长.【答案】解:(1)△AGB为△DEC平移后的三角形,如下图所示;(2)∵△AGB为△DEC平移后的三角形,∴BG=CE=3,BG∥CE,∵CE⊥BD,∴BG⊥BD.在Rt△BDG中,∵∠GBD=90°,BG=3,BD=6,∴DG==3,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC=2,∴AG=DG﹣AD=3﹣2=.
2.如图(1),已知的面积为3,且现将沿CA方向平移CA长度得到.(1)求所扫过的图形面积;(2)试判断,AF与BE的位置关系,并说明理由;(3)若求AC的长.BCA()FE【思路点拨】(1)根据平移的性质及平行四边形的性质可得到S△EFA=S△BAF=S△ABC,从而便可得到四边形CEFB的面积;(2)由已知可证得平行四边形EFBA为菱形,根据菱形的对角线互相垂直平分可得到AF与BE的位置关系为垂直;(3)作BD⊥AC于D,结合三角形的面积求解.【答案与解析】(1)由平移的性质得AF∥BC,且AF=BC,△EFA≌△ABC∴四边形AFBC为平行四边形S△EFA=S△BAF=S△ABC=3∴四边形EFBC的面积为9;(2)BE⊥AF证明:由(1)知四边形AFBC为平行四边形∴BF∥AC,且BF=AC又∵AE=CA∴BF∥AE且BF=AE∴四边形EFBA为平行四边形又已知AB=AC∴AB=AE∴平行四边形EFBA为菱形∴BE⊥AF;(3)如上图,作BD⊥AC于D∵∠BEC=15°,AE=AB∴∠EBA=∠BEC=15°∴∠BAC=2∠BEC=30°
∴在Rt△BAD中,AB=2BD设BD=x,则AC=AB=2x∵S△ABC=3,且S△ABC=AC•BD=•2x•x=x2∴x2=3∵x为正数∴x=∴AC=2.【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定,平移的性质,菱形的性质等知识点的综合运用及推理计算能力.类型二、轴对称变换3(2016•贵阳模拟)(1)数学课上,老师出了一道题,如图①,Rt△ABC中,∠C=90°,,求证:∠B=30°,请你完成证明过程.(2)如图②,四边形ABCD是一张边长为2的正方形纸片,E、F分别为AB、CD的中点,沿过点D的抓痕将纸片翻折,使点A落在EF上的点A′处,折痕交AE于点G,请运用(1)中的结论求∠ADG的度数和AG的长.(3)若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠,B、D两点恰好重合于一点O(如图④),当AB=6,求EF的长.【思路点拨】(1)Rt△ABC中,根据sinB═=,即可证明∠B=30°;(2)求出∠FA′D的度数,利用翻折变换的性质可求出∠ADG的度数,在Rt△A'FD中求出A'F,得出A'E,在Rt△A'EG中可求出A'G,利用翻折变换的性质可得出AG的长度.(3)先判断出AD=AC,得出∠ACD=30°,∠DAC=60°,从而求出AD的长度,根据翻折变换的性质可得出∠DAF=∠FAO=30°,在Rt△ADF中求出DF,继而得出FO,同理可求出EO,再由EF=EO+FO,即可得出答案.【答案与解析】(1)证明:Rt△ABC中,∠C=90°,,∵sinB==,∴∠B=30°;(2)解:∵正方形边长为2,E、F为AB、CD的中点,
∴EA=FD=×边长=1,∵沿过点D的抓痕将纸片翻折,使点A落在EF上的点A′处,∴A′D=AD=2,∴=,∴∠FA′D=30°,可得∠FDA′=90°﹣30°=60°,∵A沿GD折叠落在A′处,∴∠ADG=∠A′DG,AG=A′G,∴∠ADG===15°,∵A′D=2,FD=1,∴A′F==,∴EA′=EF﹣A′F=2﹣,∵∠EA′G+∠DA′F=180°﹣∠GA′D=90°,∴∠EA′G=90°﹣∠DA′F=90°﹣30°=60°,∴∠EGA′=90°﹣∠EA′G=90°﹣60°=30°,则A′G=AG=2EA′=2(2﹣);(3)解:∵折叠后B、D两点恰好重合于一点O,∴AO=AD=CB=CO,∴DA=,∵∠D=90°,∴∠DCA=30°,∵AB=CD=6,在Rt△ACD中,=tan30°,则AD=DC•tan30°=6×=2,∵∠DAF=∠FAO=∠DAO==30°,∴=tan30°=,∴DF=AD=2,∴DF=FO=2,同理EO=2,∴EF=EO+FO=4.【总结升华】本题考查了翻折变换的知识,涉及了含30°角的直角三角形的性质、平行四边形的性质,综合考察的知识点较多,注意将所学知识融会贯通.举一反三:【变式】(2016·松北区模拟)如图(1)是四边形纸片ABCD,其中∠B=120°,∠D=50°
.若将其右下角向内这出△PCR,恰使CP∥AB,RC∥AD,如图(2)所示,则∠C= 度.【答案】∵∠CPR=∠B=×120°=60°,∠CRP=∠D=×50°=25°,∴∠C=180°-60°-25°=95°.4.如图1,矩形纸片ABCD的边长分别为a,b(a0). (1)求∠APB的度数; (2)求正方形ABCD的面积. 【答案】(1)将△ABP绕点B顺时针方向旋转90°得△CBQ. 则△ABP≌△CBQ且PB⊥QB. 于是PB=QB=2a,. 在△PQC中,∵,
. ∴. ∴. ∵△PBQ是等腰直角三角形, ∴∠BPQ=∠BQP=45°. 故∠APB=∠CQB=90°+45°=135°. (2)∵∠APQ=∠APB+∠BPQ=135°+45°=180°, ∴三点A、P、Q在同一直线上. 在Rt△AQC中,. ∴正方形ABCD的面积.中考总复习:图形的变换--巩固练习(基础)【巩固练习】一、选择题1.以下图形:平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、圆、菱形,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有().A.4个B.5个C.6个D.3个2.有以下现象:①温度计中,液柱的上升或下降;②打气筒打气时,活塞的运动;③钟摆的摆动;④传送带上瓶装饮料的移动,其中属于平移的是().A.①③B.①②C.②③D.②④3.在图形的平移中,下列说法中错误的是().A.图形上任意点移动的方向相同;B.图形上任意点移动的距离相同C.图形上可能存在不动点;D.图形上任意对应点的连线长相等4.如图,O是正六边形ABCDEF的中心,下列图形可由△OBC平移得到的是(). A.△OCD B.△OAB C.△OAF D.△OEF5.(2017•莒县模拟)如图,△ABC的面积为2,将△ABC沿AC方向平移到△DFE,且AC=CD,则四边形AEFB的面积为( )
A.6B.8C.10D.126.如图所示,△ABC中,AC=5,中线AD=7,△EDC是由△ADB旋转180°所得,则AB边的取值范围是().A.l<AB<29 B.4<AB<24 C.5<AB<19 D.9<AB<19二、填空题7.如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠B=45°,AE为BC边上的高,将△ABE沿AE所在直线翻折后得△AGE,那么△AGE与四边形AECD重叠部分的面积是.第7题第8题8.(2016·黔东南州)如图,在△ACB中,∠BAC=50°,AC=2,AB=3,现将△ACB绕点A逆时针旋转50°得到△AC1B1,则阴影部分的面积为_______.9.如图,一张矩形纸片,要折叠出一个最大的正方形纸,小明把矩形的一个角沿折痕翻折上去,使AB边和AD边上的AF重合,则四边形ABEF就是一个最大的正方形,他的判定方法是________.第9题第10题10.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=2cm,点E在BC上,且AE=CE.若将纸片沿AE折叠,点B恰好与AC上的点B1重合,则AC=cm.11.(2016•郑州一模)如图,Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,将边AC沿CE翻折,使点A落在AB上的点D处;再将边BC沿CF翻折,使点B落在CD的延长线上的点B′处,两条折痕与斜边AB分别交于点E、F,则线段B′F的长为 .
12.如图,为矩形ABCD的中心,将直角三角板的直角顶点与点重合,转动三角板使两直角边始终与相交,交点分别为.如果,则与的关系式为.三、解答题13.(2015•南充)如图,矩形纸片ABCD,将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠(AP>AM),点A和点B都与点E重合;再将△CQD沿DQ折叠,点C落在线段EQ上点F处.(1)判断△AMP,△BPQ,△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形?(不需说明理由)(2)如果AM=1,sin∠DMF=,求AB的长.14.把两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG(其直角边长均为4)叠放在一起(如图①),且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG绕O点顺时针方向旋转(旋转角α满足条件:0°<α<90°),四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分(如图②).(1)在上述旋转过程中,BH与CK有怎样的数量关系?四边形CHGK的面积有何变化?证明你发现的结论;(2)连接HK,在上述旋转过程中,设BH=,△GKH的面积为,求与之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(3)在(2)的前提下,是否存在某一位置,使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的?若存在,求出此时的值;若不存在,说明理由.15.如图,将矩形纸片ABCD按如下顺序进行折叠:对折、展平,得折痕EF(如图①);沿GC折叠,使点B落在EF上的点B′处(如图②);展平,得折痕GC(如图③);沿GH折叠,使点C落在DH上的点C′处(如图④);沿GC′折叠(如图⑤);展平,得折痕GC′、GH(如图⑥).(1)求图②中∠BCB′的大小;(2)图⑥中的△GCC′是正三角形吗?请说明理由.16.已知矩形纸片,.将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合.(1)如果折痕FG分别与AD,AB交于点F,G(如图(1)),求DE的长.(2)如果折痕FG分别与CD,AB交于点F,G(如图(2)),的外接圆与直线BC相切,求折痕FG的长.
【答案与解析】一.选择题1.【答案】A.2.【答案】D.【解析】①温度计中液柱的上升或下降改变图形的大小,不属于平移;②打气筒打气时,活塞的运动属于平移;③钟摆的摆动是旋转,不属于平移;④传送带上瓶装饮料的移动符合平移的性质,属于平移.3.【答案】C.4.【答案】C.5.【答案】C.【解析】由题意可得平移的距离是2AC,AC=CD,连接FC,S△BFC=2S△ABC,S△ABC=S△FDC=S△FDE=2,∴四边形AEFB的面积为10.6.【答案】D.【解析】∵△ADB绕点D旋转180°,得到△EDC,∴AB=EC,AD=DE,而AD=7,∴AE=14,在△ACE中,AC=5,∴AE-AC<EC<AC+AE,即14-5<EC<14+5,∴9<AD<19.二.填空题7.【答案】2-2.【解析】在边长为2的菱形ABCD中,∠B=45°,AE为BC边上的高,故AE=,由折叠易得△ABG为等腰直角三角形,∴S△ABG=BA•AG=2,S△ABE=1,∴CG=2BE-BC=2-2,∴CO=OG=2-,∴S△COG=3-2,∴重叠部分的面积为2-1-(3-2)=2-2.8.【答案】.【解析】S阴影=S扇形ABB1=.9.【答案】对角线平分内角的矩形是正方形.10.【答案】4cm.
【解析】∵AB=2cm,AB=AB1∴AB1=2cm,∵四边形ABCD是矩形,AE=CE,∴∠ABE=∠AB1E=90°∵AE=CE,∴AB1=B1C,∴AC=4cm.11.【答案】 .【解析】根据折叠的性质可知CD=AC=3,B′C=BC=4,∠ACE=∠DCE,∠BCF=∠B′CF,CE⊥AB,∴B′D=4﹣3=1,∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF,∵∠ACB=90°,∴∠ECF=45°,∴△ECF是等腰直角三角形,∴EF=CE,∠EFC=45°,∴∠BFC=∠B′FC=135°,∴∠B′FD=90°,∵S△ABC=AC•BC=AB•CE,∴AC•BC=AB•CE,∵根据勾股定理求得AB=5,∴CE=,∴EF=,ED=AE=,∴DF=EF﹣ED=,∴B′F=.故答案为:.12.【答案】.三.综合题13.【解析】解:(1)△AMP∽△BPQ∽△CQD,∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠B=∠C=90°,根据折叠的性质可知:∠APM=∠EPM,∠EPQ=∠BPQ,∴∠APM+∠BPQ=∠EPM+∠EPQ=90°,∵∠APM+∠AMP=90°,∴∠BPQ=∠AMP,∴△AMP∽△BPQ,同理:△BPQ∽△CQD,根据相似的传递性,△AMP∽△CQD;(2)∵AD∥BC,∴∠DQC=∠MDQ,根据折叠的性质可知:∠DQC=∠DQM,
∴∠MDQ=∠DQM,∴MD=MQ,∵AM=ME,BQ=EQ,∴BQ=MQ﹣ME=MD﹣AM,∵sin∠DMF==,∴设DF=3x,MD=5x,∴BP=PA=PE=,BQ=5x﹣1,∵△AMP∽△BPQ,∴,∴,解得:x=(舍)或x=2,∴AB=6.14.【解析】(1).在上述旋转过程中,BH=CK,四边形CHGK的面积不变.证明:连接CG,KH,∵△ABC为等腰直角三角形,O(G)为其斜边中点,∴CG=BG,CG⊥AB,∴∠ACG=∠B=45°,∵∠BGH与∠CGK均为旋转角,∴∠BGH=∠CGK,在△BGH与△CGK中,∴△BGH≌△CGK(ASA),∴BH=CK,S△BGH=S△CGK.∴S四边形CHGK=S△CHG+S△CGK=S△CHG+S△BGH=S△ABC=××4×4=4,即:S四边形CHGK的面积为4,是一个定值,在旋转过程中没有变化;
(2)∵AC=BC=4,BH=x,∴CH=4-x,CK=x.由S△GHK=S四边形CHGK-S△CHK,得y=4-x(4-x),∴y=x2-2x+4.由0°<α<90°,得到BH最大=BC=4,∴0<x<4;(3)存在.根据题意,得x2-2x+4=×8,解这个方程,得x1=1,x2=3,即:当x=1或x=3时,△GHK的面积均等于△ABC的面积的.15.【解析】(1)由折叠的性质知:B′C=BC,在Rt△B′FC中,∵cos∠B′CF===,∴∠B′CF=60°,即∠BCB′=60°;(2)根据题意得:GC平分∠BCC′,∴∠GCB=∠GCC′=∠BCB′=30°,∴∠GCC′=∠BCD-∠BCG=60°,由折叠的性质知:GH是线段CC′的对称轴,∴GC′=GC,∴△GCC′是正三角形.16.【解析】在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,,∠D=90°.根据轴对称的性质,得EF=AF=.
∴DF=AD-AF=.在Rt△DEF中,DE=.(2)设AE与FG的交点为O.根据轴对称的性质,得AO=EO.取AD的中点M,连接MO.则MO=DE,MO∥DC.设DE=x,则MO=x,在矩形ABCD中,∠C=∠D=90°,∴AE为△AED的外接圆的直径,O为圆心.延长MO交BC于点N,则ON∥CD,∴∠CNM=180°-∠C=90°,∴ON⊥BC,四边形MNCD是矩形.∴MN=CD=AB=2.∴ON=MN-MO=2-x.∵△AED的外接圆与BC相切,∴ON是△AED的外接圆的半径,∴OE=ON=2-x,AE=2ON=4-x.在Rt△AED中,AD2+DE2=AE2,∴12+x2=(4-x)2.解这个方程,得x=.∴DE=,OE=2-x=.根据轴对称的性质,得AE⊥FG.∴∠FOE=∠D=90°可得,即FO=.又AB∥CD,∴∠EFO=∠AGO,∠FEO=∠GAO.∴△FEO≌△GAO.∴FO=GO.∴FG=2FO=.∴折痕FG的长是.