中考数学一轮总复习21《图形的相似》知识讲解+巩固练习（基础版）（含答案）

中考总复习：图形的相似--知识讲解（基础）【考纲要求】1.了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质．2.探索并掌握三角形相似的性质及条件，并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题．3.掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小．4.掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置．【知识网络】【考点梳理】考点一、比例线段1.比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n.在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项.如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项.2、比例的基本性质：①a：b=c：dad=bc②a：b=b：c.3、黄金分割把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB≈0.618AB. 考点二、相似图形1.相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形.　也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的.(全等是特殊的相似图形).2.相似多边形：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形叫做相似多边形.3.相似多边形的性质：　　相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等.　　相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方.4.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.5.相似三角形的性质：　　(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.　　(2)相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比.　　(3)相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.【要点诠释】结合两个图形相似，得出对应角相等，对应边的比相等，这样可以由题中已知条件求得其它角的度数和线段的长.对于复杂的图形，采用将部分需要的图形(或基本图形)“抽”出来的办法处理.6.相似三角形的判定：　　(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；　　(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；　　(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；　　(4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.　　(5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个三角形相似.考点三、位似图形1.位似图形的定义：　　两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，不经过交点的对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心.2.位似图形的分类：　　(1)外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外.　　(2)内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上.3.位似图形的性质　　位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；　　位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；　　位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.【要点诠释】位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.4.作位似图形的步骤　　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；　　第二步：作位似中心与各关键点连线；　　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；　　第四步：顺次连接截取点.【要点诠释】　　在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐 标的比等于k或-k.【典型例题】类型一、比例线段1.在比例尺1：10000000的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是8cm，那么甲、乙两个城市之间的实际距离应为__________km.【思路点拨】地图上的比例尺是一种比例关系，即图上距离与实际距离的比.【答案与解析】1：10000000=8：80000000，即实际距离是80000000cm=800km.【总结升华】本题考点:比例性质.举一反三：【变式】如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距6m、与树相距15m，则树的高度为______________m　【答案】因为，所以树高=7.类型二、相似图形【高清课堂：图形的相似考点7（3）】2．如图，一个矩形ABCD的长AD=cm，宽AB=cm，E、F分别是AD、BC的中点，连接E、F，所得新矩形ABFE与原矩形ABCD相似，求:的值．【思路点拨】根据相似多边形对应边的比相等，即可求得．【答案与解析】∵矩形ABCD的长AD=，宽AB=，则AE=AD=．又矩形AEFB与矩形ABCD相似．∴=，即,即 ∴【总结升华】本题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，注意分清对应边是解决本题的关键．3．如图，△ABC是一块直角三角形的木块，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，AB=5cm，要利用它加工成一块面积最大的正方形木块，问按正方形CDEF加工还是按正方形PQRS加工？说出你的理由.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【思路点拨】要加工成一块面积最大的正方形木块，有两种方法，利用相似三角形的判定和性质求出两个正方形的边长，比较大小即可.【答案与解析】(1)如图1，设正方形CDEF的边长为x，则有，得x=cm；　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)如图2，设正方形PQRS的边长为y，作CN⊥AB于N交RS于M，而知CN=，　　　　同样有得(cm)，x-y=＞0，故x＞y，　　　　所以按正方形CDEF加工，可得面积最大的正方形.　　　　　　　　　　　　　　【总结升华】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形一边的直线与三角形另两边相交，截得的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例；对应高的比等于相似比．举一反三：【变式】已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△ BDC相似？　　　　　　　【答案】设经x秒后，△PBQ∽△BCD，由于∠PBQ=∠BCD=90°，　　　　　(1)当∠1=∠2时，有：，　　　　　　即；　　　　　(2)当∠1=∠3时，有：，　　　　　　即　　　　　　∴经过秒或2秒，△PBQ∽△BCD.4.（2016•闵行区一模）如图，已知在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点F在边AB上，点E在线段DF的延长线上，且∠BAE=∠BDF，点M在线段DF上，且∠EBM=∠C．（1）求证：EB•BD=BM•AB；（2）求证：AE⊥BE．【思路点拨】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C，由已知条件得到∠EBM=∠C，等量代换得到∠EBM=∠ABC，求得∠ABE=∠DBM，推出△BEA∽△BDM，根据相似三角形的性质得到，于是得到结论； （2）连接AD，由等腰三角形的性质得到AD⊥BC，推出△ABD∽△EBM，根据相似三角形的性质得到∠ADB=∠EMB=90°，求得∠AEB=∠BMD=90°，于是得到结论．【答案与解析】证明：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠EBM=∠C，∴∠EBM=∠ABC，∴∠ABE=∠DBM，∵∠BAE=∠BDF，∴△BEA∽△BDM，∴，∴EB•BD=BM•AB；（2）连接AD，∵AB=AC，点D为BC边的中点，∴AD⊥BC，∵，∠ABD=∠EBM，∴△ABD∽△EBM，∴∠ADB=∠EMB=90°，∴∠AEB=∠BMD=90°，∴AE⊥BE．【总结升华】此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，掌握转化思想与数形结合思想的应用．5．（2015•丽水）如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N．（1）当F为BE中点时，求证：AM=CE；（2）若==2，求的值；（3）若==n，当n为何值时，MN∥BE？ 【思路点拨】（1）如图1，易证△BMF≌△ECF，则有BM=EC，然后根据E为CD的中点及AB=DC就可得到AM=EC；（2）如图2，设MB=a，易证△ECF∽△BMF，根据相似三角形的性质可得EC=2a，由此可得AB=4a，AM=3a，BC=AD=2a．易证△AMN∽△BCM，根据相似三角形的性质即可得到AN=a，从而可得ND=AD﹣AN=a，就可求出的值；（3）如图3，设MB=a，同（2）可得BC=2a，CE=na．由MN∥BE，MN⊥MC可得∠EFC=∠HMC=90°，从而可证到△MBC∽△BCE，然后根据相似三角形的性质即可求出n的值．【答案与解析】解：（1）当F为BE中点时，如图1，则有BF=EF．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，AB∥DC，∴∠MBF=∠CEF，∠BMF=∠ECF．在△BMF和△ECF中，，∴△BMF≌△ECF，∴BM=EC．∵E为CD的中点，∴EC=DC，∴BM=EC=DC=AB，∴AM=BM=EC；（2）如图2，设MB=a，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=DC，∠A=∠ABC=∠BCD=90°，AB∥DC，∴△ECF∽△BMF，∴==2，∴EC=2a，∴AB=CD=2CE=4a，AM=AB﹣MB=3a． ∵=2，∴BC=AD=2a．∵MN⊥MC，∴∠CMN=90°，∴∠AMN+∠BMC=90°．∵∠A=90°，∴∠ANM+∠AMN=90°，∴∠BMC=∠ANM，∴△AMN∽△BCM，∴=，∴=，∴AN=a，ND=AD﹣AN=2a﹣a=a，∴==3；（3）当==n时，如图3，设MB=a，同（2）可得BC=2a，CE=na．∵MN∥BE，MN⊥MC，∴∠EFC=∠HMC=90°，∴∠FCB+∠FBC=90°．∵∠MBC=90°，∴∠BMC+∠FCB=90°，∴∠BMC=∠FBC．∵∠MBC=∠BCE=90°，∴△MBC∽△BCE，∴=，∴=，∴n=4．【总结升华】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、同角的余角相等、三角形外角的性质等知识，利用相似三角形的性质得到线段之间的关系是解决本题的关键．类型三、位似图形【高清课堂：图形的相似考点9（1）】6.如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是___________． x109876543211234567891011A1B1C1ABCy【思路点拨】连接任意两对对应点，看连线的交点为那一点即为位似中心．【答案与解析】连接BB1，A1A，易得交点为（9，0）．【总结升华】用到的知识点为：位似中心为位似图形上任意两对对应点连线的交点．举一反三：【变式】下列图形中不是位似图形的是().　　　　【答案】C.中考总复习：图形的相似--巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．（2011山东聊城）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是（　　）． A．（3，2）B．（－2，－3）C．（2，3）或（－2，－3）D．（3，2）或（－3，－2）2.如图，△ABC中，BC=2，DE是它的中位线，下面三个结论：⑴DE=1；⑵△ADE∽△ABC；⑶△ADE的面积与△ABC的面积之比为1:4。其中正确的有（　　）．A.　0个　　B.1个　　C.　2个　　D.　3个　3．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．OA∶OC=OB∶OD，则下列结论中一定正确的是(　　)．A．①和②相似　　B．①和③相似　　C．①和④相似　　D．②和④相似ABCDO①②⊙o⊙③⊙o⊙④⊙o⊙4．现给出下列四个命题：①无公共点的两圆必外离；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面积等于两条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形．其中真命题的个数是（　　）．A．1　B．2　C．3　D．45．（2015•锦州）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为（　　）A．（2，2），（3，2）B．（2，4），（3，1）C．（2，2），（3，1）D．（3，1），（2，2） 6．如图，在平行四边形ABCD中（AB≠BC），直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：①AO=BO；②OE=OF；③△EAM∽△EBN；④△EAO≌△CNO，其中正确的是（　　）．A．①②　B．②③　C．②④　D．③④二、填空题7.如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是________．第7题第9题8.如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长________，面积________．9.如图，在正三角形中，，，分别是，，上的点，，，，则的面积与的面积之比等于________．10.将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝6，BC＝8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是________．11.（2015•连云港）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为　． 12.如图，不等长的两条对角线AC、BD相交于点O，且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有________．三、解答题13.已知线段OA⊥OB，C为OB上中点，D为AO上一点，连AC、BD交于P点．（1）如图1，当OA=OB且D为AO中点时，求的值；（2）如图2，当OA=OB，=时，求tan∠BPC；图1图214.（2016•静安区一模）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，BD=AD=AC，AD与CE相交于点F，AE2=EF•EC．（1）求证：∠ADC=∠DCE+∠EAF；（2）求证：AF•AD=AB•EF．15．如图,已知在等腰△ABC中,∠A=∠B=30°,过点C作CD⊥AC交AB于点D.(1)尺规作图：过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；(2)求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线； (3)若过A，D，C三点的圆的半径为,则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与△BCO相似.若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由.16.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直角边经过点C，另一直角边交AB于点E．我们知道，结论“Rt△AEP∽Rt△DPC”成立．（1）当∠CPD=30°时，求AE的长；（2）是否存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．【答案与解析】一．选择题1．【答案】D．2．【答案】D．3．【答案】B；【解析】由OA：OC=0B：OD，利用对顶角相等，两三角形相似，①与③相似，问题可求．4．【答案】A．5．【答案】C；【解析】∵线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，∴端点的坐标为：（2，2），（3，1）．故选：C．6．【答案】B；【解析】①根据平行四边形的对边相等的性质即可求得AO≠BO，即可求得①错误；②易证△AOE≌△COF，即可求得EO=FO；③根据相似三角形的判定即可求得△EAM∽△EBN；④易证△EAO≌△FCO，而△FCO和△CNO不全等，根据全等三角形的传递性即可判定该选项错误．二．填空题7．【答案】．8．【答案】90，270． 9．【答案】１:3;【解析】首先根据题意求得：∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，即可证得△DEF是正三角形，又由直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得DF：AB=1：，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果．10．【答案】4，．【解析】根据折叠得到BF=B′F，根据相似三角形的性质得到，设BF=x，则CF=8-x，即可求出x的长，得到BF的长11.【答案】．【解析】如图，过点B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F，如图．∵∠BAC=60°，∠ABC=90°，∴tan∠BAC==．∵直线l1∥l2∥l3，∴EF⊥l1，EF⊥l3，∴∠AEB=∠BFC=90°．∵∠ABC=90°，∴∠EAB=90°﹣∠ABE=∠FBC，∴△BFC∽△AEB，∴==．∵EB=1，∴FC=．在Rt△BFC中，BC===．在Rt△ABC中，sin∠BAC==，AC===．故答案为．12．【答案】甲和丙相似．【解析】∵，∴AB∥CD，∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO，∴△AOB∽△COD．故必有甲和丙相似．三.综合题13．【解析】（1）过C作CE∥OA交BD于E，则△BCE∽△BOD得CE=OD=AD；再由△ECP∽△DAP得； （2）过C作CE∥OA交BD于E，设AD=x，AO=OB=4x，则OD=3x，由△BCE∽△BOD得CE=OD=x，再由△ECP∽△DAP得；由勾股定理可知BD=5x，DE=x，则，可得PD=AD=x，则∠BPC=∠DPA=∠A，tan∠BPC=tan∠A=。14．【解析】证明：（1）∵BD=AD=AC，∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠ACD，∵AE2=EF•EC，∴，∵∠E=∠E，∴△EAF∽△ECA，∴∠EAF=∠ECA，∴∠ADC=∠ACD=∠ACE+∠ECB=∠DCE+∠EAF；（2）∵△EAF∽△ECA，∴，即，∵∠EFA=∠BAC，∠EAF=∠B，∴△FAE∽△ABC，∴，∴FA•AC=EF•AB，∵AC=AD，∴AF•AD=AB•EF．15．【解析】（1）作出圆心O，以点O为圆心，OA长为半径作圆.（2）∵CD⊥AC,∴∠ACD=90°. ∴AD是⊙O的直径连结OC，∵∠A=∠B=30°,∴∠ACB=120°,又∵OA=OC,∴∠ACO=∠A=30°,∴∠BCO=∠ACB-∠ACO=120°-30°=90°.∴BC⊥OC,∴BC是⊙O的切线.（3）存在.∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°,∴∠BCD=∠B,即DB=DC.又∵在Rt△ACD中，DC=AD,∴BD=.①过点D作DP1//OC，则△P1DB∽△COB,，∵BO=BD+OD=,∴P1D=×OC=×=.②过点D作DP2⊥AB,则△BDP2∽△BCO,∴，∵BC＝∴.16．【解析】（1）在Rt△PCD中，由tan∠CPD=，得PD==4，∴AP=AD-PD=10-4．由△AEP∽△DPC知，,∴AE==10-12．（2）假设存在满足条件的点P，设DP=x，则AP=10-x．由△AEP∽△DPC，知=2． ∴=2，解得x=8．此时AP=4，AE=4符合题意．故存在点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍，DP=8．