中考总复习:实数—知识讲解(提高)【考纲要求】1.了解有理数、无理数、实数的概念;借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义,会比较实数的大小;2.知道实数与数轴上的点一一对应,会用科学记数法表示有理数,会求近似数和有效数字;了解乘方与开方、平方根、算术平方根、立方根的概念,并理解这两种运算之间的关系,了解整数指数幂的意义和基本性质;3.掌握实数的运算法则,并能灵活运用;4.逐步形成数形结合、分类讨论、建模思想.【知识网络】【考点梳理】考点一、实数的分类1.按定义分类:2.按性质符号分类:
有理数:整数和分数统称为有理数或者“形如(m,n是整数n≠0)”的数叫有理数.无理数:无限不循环小数叫无理数.实数:有理数和无理数统称为实数.要点诠释:常见的无理数有以下几种形式:(1)字母型:如π是无理数,等都是无理数,而不是分数;(2)构造型:如2.10100100010000…(每两个1之间依次多一个0)就是一个无限不循环的小数;(3)根式型:…都是一些开方开不尽的数;(4)三角函数型:sin35°、tan27°、cos29°等.考点二、实数的相关概念1.相反数(1)代数意义:只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数.0的相反数是0;(2)几何意义:在数轴上原点的两侧,与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数;(3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0.2.绝对值(1)代数意义:正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.可用式子表示为:(2)几何意义:一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.距离是一个非负数,所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质,即绝对值是一个非负数.用式子表示:若a是实数,则|a|≥0.3.倒数(1)实数的倒数是;0没有倒数;(2)乘积是1的两个数互为倒数.a、b互为倒数.4.平方根(1)如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根.一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0有一个平方根,它是0本身;负数没有平方根.a(a≥0)的平方根记作.(2)一个正数a的正的平方根,叫做a的算术平方根.a(a≥0)的算术平方根记作.
5.立方根如果x3=a,那么x叫做a的立方根.一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;0的立方根仍是0.要点诠释:若则则表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b的点之间的距离.考点三、实数与数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴,数轴的三要素缺一不可.每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示,反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数.要点诠释:(1)数轴的三要素:原点、正方向和单位长度.(2)实数和数轴上的点是一一对应的.考点四、实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点,靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数;两个负数;绝对值大的反而小.3.对于实数a、b,若a-b>0a>b;a-b=0a=b;a-bc,则a>c.5.无理数的比较大小:利用平方转化为有理数:如果a>b>0,a2>b2a>b;或利用倒数转化:如比较与.要点诠释:实数大小的比较方法:(1)直接比较法:正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数;两个负数,绝对值大的反而小.(2)数轴法:在数轴上,右边的数总比左边的数大.考点五、实数的运算1.加法同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;互为相反数的两个数相加得0;一个数同0相加,仍得这个数.满足运算律:加法的交换律a+b=b+a,加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c).2.减法减去一个数等于加上这个数的相反数.3.乘法两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.几个非零实数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有偶数个时,积为正;当负因数有奇数个时,积为负.几个数相乘,有一个因数为0,积就为0.乘法运算的运算律:(1)乘法交换律ab=ba;(2)乘法结合律(ab)c=a(bc);(3)乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac.4.除法(1)除以一个数,等于乘上这个数的倒数.(2)两个数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数都得0.5.乘方与开方
(1)求n个相同因数的积的运算叫做乘方,a所表示的意义是n个a相乘.正数的任何次幂是正数,负数的偶次幂是正数,负数的奇次幂是负数.(2)正数和0可以开平方,负数不能开平方;正数、负数和0都可以开立方.(3)零指数与负指数要点诠释:(1)加和减是一级运算,乘和除是二级运算,乘方和开方是三级运算.这三级运算的顺序是三、二、一.如果有括号,先算括号内的;如果没有括号,同一级运算中要从左至右依次运算.(2)实数的运算律 加法交换律:a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律:ab=ba 乘法结合律:(ab)c=a(bc) 乘法分配律:(a+b)c=ac+bc考点六、有效数字和科学记数法1.近似数 一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.精确度的形式有两种:(1)精确到哪一位;(2)保留几个有效数字.2.有效数字 一个近似数,从左边第一个不是0的数字起,到精确到的数位为止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字.3.科学记数法把一个数用±a×10(其中1≤<10,n为整数)的形式记数的方法叫科学记数法.要点诠释:(1)当要表示的数的绝对值大于1时,用科学记数法写成a×10,其中1≤<10,n为正整数,其值等于原数中整数部分的数位减去1;(2)当要表示的数的绝对值小于1时,用科学记数法写成a×10,其中1≤<10,n为负整数,其值等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数(包括小数点前面的零).考点七、数形结合、分类讨论、建模思想1.数形结合思想 实数与数轴上的点一一对应,绝对值的几何意义等,数轴在很多时候可以帮助我们更直观地分析题目,从而找到解决问题的突破口;2.分类讨论思想(算术)平方根,绝对值的化简都需要有分类讨论的思想,考虑问题要全面,做到既不重复又不遗漏;3.从实际问题中抽象出数学模型 以现实生活为背景的题目,我们要抓住问题的实质,明确该用哪一个考点来解决问题,然后有的放矢.【典型例题】类型一、实数的有关概念1.(2015春•杭锦后旗校级期末)在下列各数中,无理数有().
,,,﹣π,﹣,,,0,0.5757757775…(相邻两个5之间的7的个数逐次加1).A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】D;【解析】无理数有:,,﹣π,,0.5757757775…(相邻两个5之间的7的个数逐次加1)共有5个.故答案是:D.【点评】此题主要考查了无理数的定义,其中初中范围内学习的无理数有:π,2π等;开方开不尽的数;以及像0.1010010001…,等有这样规律的数.举一反三:【高清课程名称:实数高清ID号:369214关联的位置名称(播放点名称):经典例题2-4】【变式】(2015•安徽)与1+最接近的整数是( )A.4B.3C.2D.1【答案】B.∵4<5<9,∴2<<3.又5和4比较接近,∴最接近的整数是2,∴与1+最接近的整数是3,故选:B.类型二、实数有关的计算【高清课程名称:实数高清ID号:369214关联的位置名称(播放点名称):经典例题8-9】2.(1)有一列数,…,那么依此规律,第7个数是______;(2)已知依据上述规律,则.【答案】(1);(2).【解析】(1)符号:单数为负,双数为正,所以第7个为负.分子规律:第几个数就是几,即第7个数分子就是7,分母规律:分子的平方加1,第7个数分母就是50.所以第7个数是.(2)【点评】(1)规律:(n为正整数);
(2)规律:(n为正整数).举一反三:【变式】a是不为1的有理数,我们把称为a的差倒数.如:2的差倒数是,的差倒数是.已知,是的差倒数,是的差倒数,是的差倒数,…,依此类推,则.【答案】因为,……..三个一循环,因此类型三、实数大小的比较3.若,,试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小.【答案与解析】a=,b,,∴a