中考数学一轮总复习02《整式与因式分解》知识讲解+巩固练习（提高版）（含答案）

中考总复习：整式与因式分解—知识讲解（提高）【考纲要求】1.整式部分主要考查幂的性质、整式的有关计算、乘法公式的运用，多以选择题、填空题的形式出现；2.因式分解是中考必考内容，题型多以选择题和填空题为主，也常常渗透在一元二次方程和分式的化简中进行考查.【知识网络】 【考点梳理】考点一、整式1.单项式　　数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数．单独一个数或一个字母也是单项式．要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．2.多项式　　几个单项式的代数和叫做多项式．也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的．要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．（4）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．3.整式　　单项式和多项式统称整式．4.同类项　　所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项．5.整式的加减　　整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用．　　把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.　　如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.　　整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.6.整式的乘除　　①幂的运算性质：　　　　　②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．　　③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：　　④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：　　平方差公式： 完全平方公式：　　　　　　在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.　　⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．　　⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即（都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.（4）公式的推广：(，均为正整数)（5）逆用公式：，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.（6）公式的推广：(为正整数).（7）逆用公式：逆用算式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：（8）多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘，.考点二、因式分解1.因式分解　　把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解．2.因式分解常用的方法（1）提取公因式法：（2）运用公式法：平方差公式：；完全平方公式： （3）十字相乘法：（4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解.（5）添、拆项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.（6）运用求根公式法：若的两个根是、，则有：.3.因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；（4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法.要点诠释：（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到每个因式都不能再分解为止．（4）十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.（5）分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点分组分解法四项二项、二项①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式六项三项、三项二项、二项、二项各组之间有公因式三项、二项、一项可化为二次三项式【典型例题】类型一、整式的有关概念及运算1．（2014春•余姚市校级期末）若多项式x2+ax+8和多项式x2﹣3x+b相乘的积中不含x2、x3项，求（a﹣b）3﹣（a3﹣b3）的值．【思路点拨】多项式与多项式相乘结果中不含二次项和三次项，则说明这两项的系数为0，建立关于a，b等式，求出后再求代数式值．【答案与解析】解：∵（x2+ax+8）（x2﹣3x+b）=x4+（﹣3+a）x3+（b﹣3a+8）x2﹣（ab+24）x+8b， 又∵不含x2、x3项，∴﹣3+a=0，b﹣3a+8=0，解得a=3，b=1，∴（a﹣b）3﹣（a3﹣b3）=（3﹣1）3﹣（33﹣13）=8﹣26=﹣18．【总结升华】解此类问题的常规思路是：将两个多项式依据乘法法则展开，合并同类项，根据不含某一项就是这一项的系数等于0再通过解方程（组）求解．2．（2015春•达州校级期中）已知a﹣b=5，ab=3，求代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值．【思路点拨】首先把代数式a3b﹣2a2b2+ab3分解因式，然后尽可能变为和a﹣b、ab相关的形式，然后代入已知数值即可求出结果．【答案与解析】解：∵a3b﹣2a2b2+ab3=ab（a2﹣2ab+b2）=ab（a﹣b）2而a﹣b=5，ab=3，∴a3b﹣2a2b2+ab3=3×25=75．【总结升华】本题主要运用完全平方公式对所给代数式进行因式分解，然后利用所给条件代入即可求出结果．3．已知，求的值．【答案与解析】∵，∴．【点评】（1）逆用幂的乘方法则：．（2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力．举一反三：【变式】已知，．求的值．【答案】．类型二、因式分解4．多项式的最小值是____________.【答案】4；【解析】，所以最小值为4.【点评】通过因式分解化为完全平方式，分析得出多项式的最小值.5．把分解因式． 【答案与解析】解法一：．解法二：．【点评】此题多项式的四项中没有公因式，所以不能直接用提公因式法，但如果把其中两项合为一组，如把第一、三两项和第二、四两项分为两组，可以分别提取公因式和，并且另一个因式都是()，因此可继续分解．把一个多项式的项分组后能运用提取公因式法进行分解，并且各组在分解后它们的另一个因式正好相同，还能用提取公因式法继续分解，那么这个多项式就可以用分组法来分解因式．举一反三：【变式1】分解因式：【答案】原式.【高清课程名称：整式与因式分解高清ID号：399488关联的位置名称（播放点名称）：例3（3）-（4）】【变式2】(1)16x2－(x2＋4)2；(2)【答案】(1)原式＝(4x)2－(x2＋4)2＝[4x＋(x2＋4)][4x－(x2＋4)]＝－(x2＋4x＋4)(x2－4x＋4)＝－(x＋2)2(x－2)2．(2)原式类型三、因式分解与其他知识的综合运用6．若、、为三角形的三边边长，试判断的正负状况．【思路点拨】将原式用公式法分解因式，再由三角形三边的关系确定每个因式的符号，最后就能得出结果的符号.【答案与解析】 ．依三角形两边之和大于第三边，知，，，故．【点评】将原式分解因式，再根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边来判断每个因式的正负.举一反三：【变式1】若△ABC的三边长分别为、、,且满足，求证：.【答案】所以所以所以因为△ABC的三边长分别为、、，，所以，矛盾，舍去.所以.【高清课程名称：整式与因式分解高清ID号：399488关联的位置名称（播放点名称）：例4】【变式2】已知，求的值．【答案】＝102－2＝98． 中考总复习：整式与因式分解—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.若能被60或70之间的两个整数所整除，这两个数应当是（）A．61，63B．63，65C．61，65D．63，672.乘积应等于（）A．B．C．D．3．（2015•十堰模拟）已知x2﹣x﹣1=0，则x3﹣2x+1的值为（　　）A．﹣1B．2C．﹣1D．﹣24．的个位数字是()A．2B．4C．6D．85．若为任意实数时，二次三项式的值都不小于0，则常数满足的条件是（）A.B.C.D.6．如图，从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（　　）　A．2cm2B．2acm2C．4acm2D．（a2﹣1）cm2二、填空题7．已知，，那么P，Q的大小关系是．8．已知，则＝．9．若n是正整数，且，则＝__________.10.（1）如果，那.（2）已知，则.11．对于任意的正整数，能整除代数式的最小正整数是_______. 12.（2015秋•巴中期中）图1可以用来解释：（2a）2=4a2，则图2可以用来解释：　　．三、解答题13.（2014秋•静宁县校级期中）若关于x的多项式﹣5x3+（2m﹣1）x2+（3n﹣2）x﹣1不含二次项和一次项，求m，n的值．14．将下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）.15.若二次三项式能被整除，试求的值．16.已知：求的值.【答案与解析】1.【答案】B；【解析】2.【答案】D；【解析】 3.【答案】B；【解析】∵x2+x﹣1=0，∴x2+x=1，∴x3﹣2x+1=x（x2﹣x）+x2﹣2x+1=x+x2﹣2x+1=（x2﹣x）+1=1+1=2．故选：B．4.【答案】C；【解析】的个位数字等于的个位数字．∵;．∴的个位数字等于9＋7的个位数字．则的个位数字是6．5.【答案】B；【解析】，由题意得，，所以.6.【答案】C；【解析】矩形的面积是（a+1）2﹣（a﹣1）2，=a2+2a+1﹣（a2﹣2a+1），=4a（cm2），故选C．二、填空题7．【答案】P＝Q；【解析】∵ ∴P＝Q.8．【答案】－5；【解析】原式　　　　　∵∴原式＝＝－5.9．【答案】200；【解析】.10.【答案】（1）－4；（2）1；【解析】（1）原式.（2）∵∴；∴；∴，.11.【答案】10；【解析】利用平方差公式化简得10，故能被10整除.12.【答案】（a+b）2=a2+2ab+b2；【解析】如图2：整体来看：可看做是边长为（a+b）的正方形，面积为：（a+b）2；从部分看，可看作是有四个不同的长方形构成的图形，其中两个带阴影的长方形面积是相同的，面积为：a2+2ab+b2；∴a2+2ab+b2=（a+b）2．故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2 三、解答题13.【答案与解析】解：∵多项式﹣5x3+（2m﹣1）x2+（3n﹣2）x﹣1不含二次项和一次项，∴2m﹣1=0，3n﹣2=0，解得m=，n=，∴m=，n=．14.【答案与解析】（1）；（2）；（3）；（4）.15.【答案与解析】因为所以，解得.16.【答案与解析】∵∴∵∴∴ ∴∴∴.