南京市2022届高三上学期8月学情检测考前热身卷数学试题一、单项选择题(本大题共8小题,每题5分,共40分)1.已知非零向量,,那么“、的夹角为钝角”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.设集合,,则()A.B.C.D.3.已知,,且,则的最大值为()A.1B.C.2D.4.某课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:°C)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据得到下面的散点图:由此散点图,在10°C至40°C之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()A.B.C.D.
5.九连环是一个古老的智力游戏,在多部中国古典数学典籍里都有对其解法的探究,在《九章算术》中古人对其解法的研究记载如下:记解n连环需要的步骤为,,研究发现{an+1}是等比数列,已知,则()A.127B.128C.255D.2566.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式,宋代称为撮尖,清代称攒尖.攒尖建筑的屋面在顶部交汇为一点,形成尖顶,依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.也有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑、园林建筑.校园内的明心亭,为一个八角攒尖,它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥,设正八棱锥的侧面等腰三角形的顶角为,它的侧棱与底面内切圆半径的长度之比为().A.B.C.D.7.已知定义在上的奇函数满足,当时,,若函数的所有零点为,当号时,()A.B.C.D.8.已知实数,满足,则对于任意实数,的最小值为()A.4B.16C.17D.25二、多项选择题(本大题共4小题,每题5分,共20分.每题全选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.若函数,则()A.是周期函数B.在上有4个零点C.在上是增函数D.的最小值为10.已知P为双曲线上的动点,过点P作双曲线的两条渐近线的垂线,垂足分别为A,B,设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,线段PA,PB的长分别为m,n,则下列结论正确的是()A.∠APB=B.k1k2=C.mn=D.|AB|≥11.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等.这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现,于是留下遗言:他死后,墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.设圆柱的体积与球的体积之比为
,圆柱的表面积与球的表面积之比为,若,则()A.的展开式中的常数项是B.的展开式中的各项系数之和为C.的展开式中的二项式系数最大值是D.,其中为虚数单位12.已知数列满足:,设,数列的前项和为,则下列选项正确的是()A.数列单调递增,数列单调递减B.C.D.三、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分)13.的展开式中的系数为_____.14.已知,则___________.15.如图,在底面边长为,高为的正四棱柱中,大球与该正四棱柱的五个面均相切,小球在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切,也与大球相切,则小球的半径为___________.
16.已知函数,对任意的,使得,则___________.四、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本题满分10分)在①数列为递增的等比数列,,且是和的等差中项,②这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的k存在,求出k的最小值;若不存在,说明理由.已知数列的前n项和为,____,,设数列的前n项和为,是否存在实数k,使得恒成立?18.(本题满分12分)在中,角,,所对的边分别为,,,设为的面积,满足.(1)求角的大小;(2)若边长,求的周长的取值范围.19.(本题满分12分)某农林科技大学培育出某一小麦新品种,为检验该新品种小麦的最佳播种日期,把一块地均分为,两块试验田(假设,两块试验田地质情况一致),10月10日在试验田播种该新品种小麦,10月20日在试验田播种该新品种小麦,小麦收割后,从这两块试验田收获的小麦中各随机抽取了20份(每份1000粒),并测其千粒重(单位:),按照[20,30),[30,40),[40,50]进行分组,得到如下表格.其中千粒重不低于的小麦视为饱满,否则为不饱满.[20,30)[30,40)[40,50]试验田/份479试验田/份7103(1)完成下面的列联表,并判断是否有95%的把握认为小麦是否饱满与播种日期有关;10月10日播种10月20日播种合计饱满
不饱满合计(2)从,两块试验田的样本中各随机抽取1份小麦,求抽取的2份小麦中至少有1份饱满小麦的概率;(3)用样本估计总体,从试验田随机选取50份(每份1000粒)小麦,记饱满的小麦份数为,求数学期望.参考公式:,其中.()0.150.100.050.0250.0100.0012.0722.7063.8415.0246.63510.82820.(本题满分12分)如图,,分别是圆台上下底面的圆心,是下底面圆的直径,,点是下底面内以为直径的圆上的一个动点(点不在上).(Ⅰ)求证:平面平面;(Ⅱ)若,,求二面角的余弦值.21.(本题满分12分)已知点,,的周长等于,点满足.
(1)求点的轨迹的方程;(2)是否存在过原点的直线与曲线交于,两点,与圆交于,两点(其中点在线段上),且,若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.22.(本题满分12分)已知函数.(1)当时,求在上的最值;(2)设,若有两个零点,求的取值范围.一、单项选择题12345678ADDDCACB二、多项选择题9101112BCACBCABC三、填空题13.409614.15.16.-3四、解答题17.解:若选①时,数列为公比为q的递增的等比数列,,且是和的等差中项,故,解得,整理得,故或(舍去),
所以.所以.所以,当时,使得恒成立,故k的最小值为1.若选②时,,当时,所以,(首项符合通项),所以.所以,当时,使得恒成立,故k的最小值为1.18.(1)的面积满足,由面积公式和余弦定理得,则,即,又,所以.(2)因为,,所以由正弦定理得,则的周长,由得,则,所以,故的周长的取值范围是,.
19.(1)补全的列联表如下:10月10日播种10月20日播种合计饱满9312不饱满111728合计202040由表中的数据可得,由于,所以有95%的把握认为小麦是否饱满与播种日期有关.(2)解法一:由(1)可得,从试验田的样本中随机抽取1份小麦,抽到饱满小麦的概率为,从试验田的样本中随机抽取1份小麦,抽到饱满小麦的概率为,所以从,两块试验田的样本中各随机抽取1份小麦,抽取的2份小麦中至少有1份饱满小麦的概率.解法二:由(1)可得,从试验田的样本中随机抽取1份小麦,抽到饱满小麦的概率为,从试验田的样本中随机抽取1份小麦,抽到饱满小麦的概率为,所以从,两块试验田的样本中各随机抽取1份小麦,抽取的2份小麦中没有饱满小麦的概率,故所求概率.(3)因为从试验田的样本中随机抽取1份小麦,抽到饱满小麦的概率为,所以,故.20.(1)由题意,分别是圆台上下底面的圆心,可得底面,因为底面,所以,
又由点是下底面内以为直径的圆上的一个动点,可得,又因为,且平面,所以平面,因为平面,所以平面平面.(2)以为原点,建立空间直角坐标系,如图所示,因为,则,,可得,所以,设平面的法向量为,则,即,令,可得,所以,又由,设平面的法向量为,则,即,令,可得,所以,所以,因为二面角为钝角,所以二面角的余弦值为.
21.解:(1)设,,由得,,.已知点,,的周长等于,,则点的轨迹是以,为焦点的椭圆.,,所以,,.故点的轨迹方程为().将,代入()并化简得到点的轨迹的方程:().(2)当直线与轴垂直时,求得,,,,符合要求.此时直线的方程为:.当直线存在斜率时,设直线的方程为,,.由消去整理得,由韦达定理得,,则.圆心到直线的距离,则..,整理得,,即.此时直线的方程为.综上,符合条件的直线存在三条,其方程为和.22.(1)当时,,可得.当时,;当时,.
所以在上单调递减,在上单调递增.因为,,,所以,.(2)因为,可得:.①当时,,此时只有一个零点,故不成立;②当时,在上单调递减,在上单调递增.因为,,当时,;当时,,.有两个不同的零点,成立;③当时,令,得或.当时,,恒成立,在上单调递增,至多有一个零点;当时,即.若或,则;若,则.在和上单调递增,在上单调递减.当时,即.若或,则;若时,则.在和上单调递增,在上单调递减.
当时,,.仅有一个零点,不合题意.综上,有两个零点,的取值范围是.欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org