第五章三角函数5.5.2简单的三角恒等变换1．能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．2．了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．重点：能用二倍角公式导出半角公式及进行简单的应用．难点：能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．1．你能填写出下面我们学习了的公式吗？；；。提出问题学习了和（差）角公式、二倍角公式以后，我们就有了进行三角恒等变换的新工具，从而使三角恒等变换的内容、思路和方法更加丰富．例７ 试以表示,,例８ 求证：（1）,
(2)例８的证明用到了换元的方法．如把看作θ，看作，从而把包含的三角函数式转化为θ，的三角函数式．或者，把看作，cos看作，把等式看作，的方程，则原问题转化为解方程（组）求．它们都体现了化归思想．例９求下列函数的周期，最大值和最小值：（１）； （２）．例10 如图5.5-2，已知OPQ是半径为１，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．1．若cosα＝，α∈(0，π)，则cos的值为( )A． B．－C．D．－2．已知cosα＝，α∈，则sin等于( )A．B．－C．D．3．已知sinα－cosα＝－，则sin2α的值等于( )A．B．－C．－D．4．函数y＝sin2x＋cos2x的最小正周期为________．
5．求证：4sinθcos2＝2sinθ＋sin2θ.6、如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？1．知识：如何采用两角和或差的正余弦公式进行合角,借助三角函数的相关性质求值.其中三角函数最值问题是对三角函数的概念、图像和性质,以及诱导公式、同角三角函数基本关系、和(差)角公式的综合应用,也是函数思想的具体体现.如何科学的把实际问题转化成数学问题,如何选择自变量建立数学关系式;求解三角函数在某一区间的最值问题．2．思想：本节课通过由特殊到一般方式把关系式化成的形式，可以很好地培养学生探究、归纳、类比的能力.通过探究如何选择自变量建立数学关系式，可以很好地培养学生分析问题、解决问题的能力和应用意识，进一步培养学生的建模意识．[来源:学参考答案：一、知识梳理二、学习过程例７ 解：是的二倍角．在倍角公式中，以代替，以代替，得,所以=,①在倍角公式-1中，以代替，以代替，得-1,所以=,②
将①②两个等式的左右两边分别相除，得=例８ 证明：（１）因为=+=将以上两式的左右两边分别相加，得+=①即（2）由（1）可得+=设，把，代入①，即得例９分析：便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是,利用和角公式将其展开，可化为）的形式．反之，利用和（差）角公式，可将转化为的形式，进而就可以求得其周期和最值了．解：（1）=2（）①=2（）=2因此，所求周期为2，最大值为２，最小值为－２．你能说说①这一步变形的理由吗？（２）设,则=．于是
所以=25.取A＝５，则,．由可知，所求周期为2，最大值为5，最小值为－5例10 分析:要求当角a取何值时,矩形ABCD的面积S最大,可分二步进行.①找出S与a之间的函数关系;②由得出的函数关系,求S的最大值.解：在中,,.在中,,所以,,所以,.设矩形的面积为,则.对于第二步求具体值,要首先确定变量的取值范围:由,得.所以当,即时,因此,当时,矩形的面积最大,最大面积为.
注：（1）在求解最大值时，要特别注意“”这一隐含条件;（2）应用问题转化为数学问题，最后要回归到实际问题.三、达标检测1．【解析】 由题意知∈，∴cos>0，cos＝＝.【答案】 C2．【解析】 由题知∈，∴sin>0，sin＝＝.【答案】 A3．【解析】 由sinα－cosα＝－，(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－sin2α＝，所以sin2α＝－.【答案】 C4．【解析】 ∵y＝sin2x＋cos2x＝sin2x＋cos2x＋＝sin＋，∴函数的最小正周期T＝＝π.【答案】 π5．【证明】 法一：左边＝2sinθ·2cos2＝2sinθ(1＋cosθ)＝2sinθ＋2sinθcosθ＝2sinθ＋sin2θ＝右边，所以原式成立．法二：右边＝2sinθ＋2sinθcosθ＝2sinθ(1＋cosθ)＝2sinθ·2cos2＝4sinθcos2＝左边，所以原式成立．6、【精彩点拨】 →→【解答】 设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsinα，OB＝Rcosα，∴l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsinα＋Rcosα
＝R(sinα＋cosα)＋R＝Rsin＋R.∵0
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