人教A版高中数学必修第一册5.7《三角函数的应用》导学案（含答案）

第五章三角函数5.7三角函数的应用1．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．2．实际问题抽象为三角函数模型．重点：分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.难点：将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题.1、三角函数可以作为描述现实世界中_________现象的一种数学模型.2、是以____________为周期的波浪型曲线.提出问题现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述．本节通过几个具体实例，说明三角函数模型的简单应用．典例解析问题１ 某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间t（单位:s）与位移y（单位:mm）之间的对应数据如表5.7.1所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式． 请你查阅资料，了解振子的运动原理．归纳总结现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y=Asin（ωx+φ）,x∈［０，＋∞）表示，其中A＞０，ω＞０．描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T＝，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式＝给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx+φ称为相位；x＝０时的相位φ称为初相．问题２ 如图5.7.2（1）所示的是某次实验测得的交变电流（单位：Ａ）随时间狋（单位：ｓ）变化的图象．将测得的图象放大，得到图5.7.2（２）．（１）求电流随时间变化的函数解析式；（２）当,,,时，求电流．请你查阅资料，了解交变电流的产生原理． 1．如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是(  )A．该质点的运动周期为0.7sB．该质点的振幅为5cmC．该质点在0.1s和0.5s时运动速度最大D．该质点在0.3s和0.7s时运动速度为零2．与图中曲线对应的函数解析式是(  )A．y＝|sinx|      B．y＝sin|x|C．y＝－sin|x|D．y＝－|sinx|3．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的(  )A．[0,5]B．[5,10]C．[10,15]D．[15,20] 4．在电流强度I与时间t的关系I＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，要使t在任意秒的时间内电流强度I能取得最大值A与最小值－A，求正整数ω的最小值．5.某港口的水深y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是有关时间与水深的数据：t(h)03691215182124y(m)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型函数y＝Asinωt＋b的图象．(1)试根据以上数据，求出y＝Asinωt＋b的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出港所用的时间)?解三角函数应用题的基本步骤：(1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型；(3)讨论变量关系，求解数学模型；(4)检验，作出结论．参考答案：学习过程问题1振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移狔随时间狋的变化规律可以用函数y=Asin（ωt+φ）来刻画．根据已知数据作出散点图，如图5.7.1所示． 由数据表和散点图可知，振子振动时位移的最大值为20mm，因此A＝20；振子振动的周期为0.6ｓ，即=0.6解得＝；再由初始状态（t＝０）振子的位移为-20，可得sinφ=－１，因此φ＝-．所以振子位移关于时间的函数解析式为y=20sin（t-）t∈[０，＋∞）．问题2由图5.7.2(2)可知，电流最大值为５Ａ，因此A＝５；电流变化的周期为ｓ，频率为５０Ｈｚ，即＝５０，解得ω＝100π；再由初始状态（t＝０）的电流约为4.33Ａ，可得sinφ=0.866，因此φ约为．所以电流i随时间t变化的函数解析式是:i=5sin（100t+）,t∈[100，＋∞）．当t=时，当t=时，当t=时，当t=时，达标检测1．【解析】 由题图可知，该质点的振幅为5cm.【答案】 B2．【解析】 注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A，D.当x∈(0，π)时，sin|x|>0，而图中显然是小于零，因此排除选项B，故选C.【答案】 C3．【解析】 当10≤t≤15时，有π