人教版高中数学人教版必修第一册：1.1《集合的概念》教案设计

【新教材】1.1集合的概念教学设计（人教A版）由于空间时间维度的不同，同一个事物会有不同的解释，如：在平面内，所有到定点的距离等于定长的点组成一个圆；而在空间中，所有到定点的距离等于定长的点组成一个球面。因此明确研究对象、确定研究范围是研究数学问题的基础。为了简洁、准确地表达数学对象及研究范围，我们需要使用集合的语言和工具。作为高中数学的第一节，本节主要通过实例研究研究集合的含义，表示方法及表示方法，比较简单。课程目标1.了解集合的含义；理解元素与集合的“属于”与“不属于”关系；熟记常用数集专用符号．2.深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问题．3.会用集合的两种表示方法表示一些简单集合。感受集合语言的意义和作用。数学学科素养1.数学抽象：集合概念的理解，描述法表示集合的方法；2.逻辑推理：集合的互异性的辨析与应用；3.数学运算：集合相等时的参数计算，集合的描述法转化为列举法时的运算；4.数据分析：元素在集合中对应的参数满足的条件；5.数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类。重点：集合的基本概念，集合中元素的三个特性，元素与集合的关系，集合的表示方法．难点：元素与集合的关系，选择适当的方法表示具体问题中的集合．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。一、预习课本，引入新课阅读课本2-5页，思考并完成以下问题1.集合和元素的含义是什么？各用什么字母表示？ 2.集合有什么特性？3.元素和集合之间有哪两种关系？有什么符号表示？4.常见的数集有哪些？用什么字母表示？5.集合有哪两种表示方法？它们如何定义？6.它们各自有什么特点？7.它们使用什么符号表示？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。二、知识归纳、梳理1．元素与集合的概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素．元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．(4)元素的特性：确定性、无序性、互异性．2．元素与集合的关系关系语言描述记法读法属于a是集合A中的元素aAa属于集合A不属于a不是集合A中的元素aAa不属于集合A3．常用的数集及其记法常用的数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法ZQR4．列举法把集合的元素一一列举出来出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．5．描述法(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．三、典例分析、举一反三题型一集合的含义例1 考查下列每组对象，能构成一个集合的是(  )①某校高一年级成绩优秀的学生；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数； ④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．A．③④  B．②③④C．②③D．②④【答案】B解题技巧：（判断一组对象能否组成集合的标准）判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．跟踪训练一1．给出下列说法：①中国的所有直辖市可以构成一个集合；②高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合；③正偶数的全体可以构成一个集合；④大于2013且小于2018的所有整数不能构成集合．其中正确的有________．(填序号)【答案】①③题型二元素与集合的关系例2 (1)下列关系中，正确的有(  )①∈R；②∉Q；③|－3|∈N；④|－|∈Q.A．1个B．2个C．3个D．4个(2)集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．【答案】 (1)C(2)0,1,2解题技巧：判断元素与集合关系的两种方法（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可。（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征。跟踪训练二2．已知集合A中有四个元素0,1,2,3，集合B中有三个元素0,1,2，且元素a∈A，a∉B，则a的值为(  )A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】∵a∈A，a∉B，∴由元素与集合之间的关系知，a＝3.3．用适当的符号填空：已知A＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，B＝{x|x＝6m－1，m∈Z}，则有：17________A；－5________A.【答案】∈ ∉  【解析】令3k＋2＝17得，k＝5∈Z.所以17∈A.令3k＋2＝－5得，k＝－∉Z.所以－5∉A.题型三集合中元素的特性及应用例3 已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．【答案】-1 【解析】 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，∴a≠1；当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性．∴a＝－1.变式1．[变条件]本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．【答案】a＝2，或a＝，或a＝－ 【解析】若2∈A，则a＝2或a2＝2，即a＝2，或a＝，或a＝－.变式2．[变条件]本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？【答案】a≠0且a≠1 【解析】若A中有两个元素a和a2，则由a≠a2解得a≠0且a≠1.变式3．[变条件]已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值．【答案】a=0 【解析】由a∈A可知，当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，所以a≠1.当a＝a2时，a＝0或1(舍去)．综上可知，a＝0.解题技巧：（根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤）题型四用列举法表示集合例4 用列举法表示下列集合．(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x3＝x的所有实数解组成的集合；(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合．【答案】见解析 【解析】  (1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．(2)方程x3＝x的解是x＝0或x＝1或x＝－1，所以方程的解组成的集合为{0,1，－1}．(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}．解题技巧（用列举法表示集合的三个步骤）1.求出集合的元素；2.把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；3.用花括号括起来。跟踪训练四4．若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A中元素的个数是(  )A．1B．2C．3D．4【答案】B 【解析】集合A＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．5．用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A.(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B方.(3)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.【答案】见解析 【解析】(1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5，所以A＝{2,3,4,5}．(2)方程x2－9＝0的实数根为－3,3，所以B＝{－3,3}．(3)由得所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1,4)，所以D＝{(1,4)}．题型五用描述法表示集合例5 用描述法表示下列集合：(1)被3除余1的正整数的集合；(2)坐标平面内第一象限的点的集合；(3)大于4的所有偶数．【答案】见解析 【解析】(1)根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为{x|x＝3n＋1，n∈N}．(2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为{(x，y)|x＞0，y＞0}．(3)偶数可表示为2n，n∈Z，又因为大于4，故n≥3，从而用描述法表示此集合为{x|x＝2n，n∈Z且n≥3}．解题技巧（描述法表示集合的2个步骤） 跟踪训练五6．用符号“∈”或“∉”填空：(1)A＝{x|x2－x＝0}，则1________A，－1________A；(2)(1,2)________{(x，y)|y＝x＋1}．【答案】(1)∈ ∉ (2)∈ 【解析】(1)易知A＝{0,1}，故1∈A，－1∉A；(2)将x＝1，y＝2代入y＝x＋1，等式成立．7．用适当的方法表示下列集合：(1)已知集合P＝{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}；(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合．【答案】见解析 【解析】(1)列举法：P＝{0,2,4}．(2)描述法：.或列举法：{(0,0)，(2,0)}．(3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．题型六集合表示法的综合应用例6 (1)若集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则a＝(  )A．1B．2C．0D．0或1(2)设∈，则集合中所有元素之积为________．【答案】 (1)D (2)【解析】 (1)当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，此时x＝－，符合题意；当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，Δ＝4－4a＝0，即a＝1，原方程的解为x＝－1，符合题意．故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素．(2)因为∈，所以2－a－＝0，解得：a＝－， 当a＝－时，方程x2－x＋＝0的判别式Δ＝2－4×＝>0，所以集合的所有元素的积为方程的两根之积等于.解题技巧：(集合表示法中元素与集合的关系)1.若已知集合是用描述法表示的，理解集合的代表元素和集合属性是关键；2.若已知集合是用列举法表示的，把握元素的共同特征是关键；跟踪训练六8．已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2,3}，求a，b的值．【答案】见解析 【解析】由A＝{2,3}知，方程x2－ax＋b＝0的两根为2,3，由根与系数的关系得，因此a＝5，b＝6.9．设集合B＝.试判断元素1,2与集合B的关系；用列举法表示集合B.【答案】见解析 【解析】(1)当x＝1时，＝2∈N.当x＝2时，＝∉N.所以1∈B,2∉B.(2)∵∈N，x∈N，∴2＋x只能取2,3,6.∴x只能取0,1,4.∴B＝{0,1,4}.题型七集合含义的拓展例7 用描述法表示抛物线y＝x2＋1上的点构成的集合．【答案】见解析 【解析】 抛物线y＝x2＋1上的点构成的集合可表示为：{(x，y)|y＝x2＋1}．变式1．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{x|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？【答案】见解析 【解析】集合{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}中的元素是全体实数．变式2．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{y|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？【答案】见解析 【解析】集合{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，所以集合中的元素是大于等于1的全体实数．解题技巧（认识集合含义的2个步骤）一看代表元素，是数集还是点集，二看元素满足什么条件即有什么公共特性。四、课堂小结培学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 五、板书设计1.1集合的概念1.集合与元素的关系例题例题2.几何特性3.集合表示方法例题例题本节内容为集合的概念，主要通过研究集合中的元素来确定集合的三个特性，由于元素的种类不同引入数集，点集等等，又由于元素的个数不同，所以元素分为有限集合无限集，从而引入了集合的表示方法：列举法和描述法。