人教版高中数学人教版必修第一册：4.3.2《对数的运算》教案设计

【新教材】4.3.2对数的运算（人教A版）学生已经学习了指数运算性质，有了这些知识作储备，教科书通过利用指数运算性质，推导对数的运算性质，再学习利用对数的运算性质化简求值。课程目标1、通过具体实例引入，推导对数的运算性质；2、熟练掌握对数的运算性质，学会化简，计算.数学学科素养1.数学抽象：对数的运算性质；2.逻辑推理：换底公式的推导；3.数学运算：对数运算性质的应用；4.数学建模：在熟悉的实际情景中，模仿学过的数学建模过程解决问题.重点：对数的运算性质，换底公式，对数恒等式及其应用；难点：正确使用对数的运算性质和换底公式．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。一、情景导入回顾指数性质：(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝(a＞0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝(a＞0，b＞0，r∈Q)．那么对数有哪些性质？如要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本124-125页，思考并完成以下问题1.对数具有哪三条运算性质？2.换底公式是如何表述的？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。一、新知探究1．对数的运算性质若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN，(2)loga＝logaM－logaN，(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．[点睛] 对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．2．换底公式若c>0且c≠1，则logab＝(a>0，且a≠1，b>0)．四、典例分析、举一反三题型一对数运算性质的应用例1计算下列各式的值:(1)log2+log224-log284;(2)lg52+lg8+lg5·lg20+(lg2)2.【答案】(1)-(2)3【解析】(1)(方法一)原式=log2=log2=-.(方法二)原式=log2+log2(23×3)-log2(22×3×7)=log27-log2(25×3)+3+log23-1-log23-log27=-×5-log23+2+log23=-+2=-.(2)原式=2lg5+2lg2+lg5×(1+lg2)+(lg2)2=2(lg5+lg2)+lg5+lg2(lg5+lg2) =2+lg5+lg2=2+1=3.解题技巧：（对数运算性质的应用）1.对于底数相同的对数式的化简、求值,常用的方法是:(1)“收”,将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数;(2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差).2.对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式,要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯.lg2+lg5=1在计算对数值时会经常用到,同时注意各部分变形要化到最简形式.跟踪训练一1.计算下列各式的值(1)log3+lg25+lg4++(-9.8)0.(2)2log32-log3+log38-.【答案】(1)5(2)-7【解析】(1)log3+lg25+lg4++(-9.8)0=log3+lg52+lg22++1 =+2lg5+2lg2+=3+2(lg5+lg2)题型二换底公式的应用例2计算下列各式的值:(1); (2).【答案】(1)(2) 【解析】(1)原式=.(2)原式==.解题技巧：（换底公式的应用）1.换底公式的本质是化异底为同底,主要用途是将一般对数化为常用对数或自然对数,解决一般对数的求值问题.2.利用换底公式计算、化简、求值的一般思路:跟踪训练二1.化简:(1)log23·log36·log68;(2)(log23+log43)(log32+log274).【答案】(1)3(2)【解析】(1)原式=log23·=log28=3.(2)原式= =log23×log32=log23×.题型三对数的综合应用例3(1)若3x=4y=36,求的值;(2)已知3x=4y=6z,求证:.【答案】(1)1(2)【解析】(1)∵3x=4y=36,∴x=log336,y=log436,∴=2log363=log369,=log364.∴=log369+log364=log3636=1.(2)设3x=4y=6z=m,则x=log3m,y=log4m,z=log6m.所以=logm3,=logm4,=logm6.故=logm3+logm4=logm3+logm=logm3+logm2=logm(3×2)=logm6=.解题技巧：（对数的综合应用）对数概念的实质是给出了指数式与对数式之间的关系,因此如果遇到条件中涉及指数幂的连等式时,常引入辅助变量,利用指数与对数间相互转化的关系,简化求解过程. 跟踪训练三1.已知3a=7b=M,且=2,求M的值?【答案】3【解析】因为3a=7b=M,所以a=log3M,b=log7M,所以=2logM3+logM7=logM9+logM7=logM63=2,所以M2=63,因为M>0,所以M==3.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计4.3.2对数的运算1.对数运算性质例1例2例32.换底公式七、作业课本126页习题4.3本节通过运用对数性质公式解决相关问题，侧重用实操，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养.