【新教材】4.1.2无理数指数幂及其运算性质教学设计（人教A版）学生在初中学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，又学习了分数指数幂的概念，以及整数指数幂的运算法则.有了这些知识作储备，教科书通过实际问题引入无理数指数幂，说明了扩张指数范围的必要性.课程目标1.理解无理数指数幂的概念;2.掌握实数指数幂和根式之间的互化、化简、求值；3.掌握实数指数幂的运算性质；4.能利用已知条件求值.数学学科素养1.数学抽象：无理数指数幂的概念；2.逻辑推理：实数指数幂和根式之间的互化；3.数学运算：利用实数指数幂的运算性质化简求值；4.数据分析：分析已知条件与所求式子之间的联系；5.数学建模：通过与有理数指数幂性质进行类比，得出无理数指数幂的概念和性质。重点：①掌握并运用实数指数幂的运算性质；②能利用已知条件求值．难点：能利用已知条件求值．教学方法：以学生为主体，采用类比发现，诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。一、情景导入规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质对于无理数指数幂是否还适用?
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.一、预习课本，引入新课阅读课本107-108页，思考并完成以下问题(1)无理数指数幂的含义是什么？(2)如何利用实数指数幂的运算性质进行化简？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。二、新知探究1．无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．2．实数指数幂的运算性质(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)．(2)(ar)s＝(a＞0，r，s∈R．(3)(ab)r＝(a＞0，b＞0，r∈R)．四、典例分析、举一反三题型一指数幂的运算性质化简求值例1化简求值(1)(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)(3).【答案】(1)64(2)－(3)【解析】(1)原式＝0.3－＋43＋2－＋1＝64.(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)＝－a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－ac－1＝－.(3)原式＝.解题技巧：（利用指数幂的运算性质化简求值的方法）
(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．跟踪训练一1、化简求值（1）（2）(a>0).【答案】（1）（2）1【解析】（1）原式=(2)原式=[]÷[]==a0=1.题型二条件求值例2已知(a>0),求下列各式的值:(1)a+a-1; (2)a2+a-2; (3)a2-a-2.【答案】（1）3（2）7（3）【解析】(1)将的两边平方,得a+a-1+2=5,即a+a-1=3.(2)由a+a-1=3,两边平方,得a2+a-2+2=9,即a2+a-2=7.(3)设y=a2-a-2,两边平方,得y2=a4+a-4-2=(a2+a-2)2-4=72-4=45.所以y=±3,即a2-a-2=±3.
解题技巧：()已知某些代数式的值,求另外代数式的值是代数式求值中的常见题型.解答这类题目时,可先分析条件式与所求式的区别与联系,有时通过化简变形把已知条件整体代入,有时需要根据已知条件求出某些字母参数的值再代入.另外还要注意隐含条件的挖掘与应用.跟踪训练二1.已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a＜b，求．【答案】－【解析】=①∵a＋b＝12，ab＝9，②∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108.∵a＜b，∴a－b＝－6.③将②③代入①，得＝－.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计4.1.2无理数指数幂及其运算性质1.无理数指数幂及其运算性质例1例22.条件求值七、作业课本109页习题4.1本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，坚持“以学生为主体，以教师为主导”的原则，通过类比的思想使学生逐步掌握无理数指数幂性质及其应用.
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