人教版高中数学人教版必修第一册：2.1《等式性质与不等式性质》精品教案

第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质（共2课时）（第1课时）本节内容是《普通高中课程标准实验教科书》（人民教育出版社A版教材）高中数学必修5第三章第一节不等关系与不等式第2课时的内容，主要讲解不等关系及不等式的性质及其运用；现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，数学中，我们用不等式来表示不等关系。不等式的性质是解决不等式问题的基本依据，凡是不等式的变形、运算都要严格按照不等式的性质进行。因此，不等式的性质是学习本章后续内容和选修4-5不等式选讲的重要保障；本节通过类比等式的性质，猜想并证明不等式的性质，并用不等式的性质证明简单的不等式，是体会化归与转化，类比等数学思想，和培养学生数学运算能力，逻辑推理能力的良好素材。在高中数学中，不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与高中数学几乎所有章节都有联系，尤其与函数、方程等联系紧密，因此，不等式才成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点．课程目标学科素养A.通过具体情景，让学生感受在现实世界和日常生活中存在的不等关系，理解和掌握列不等式的步骤；B.能灵活用作差法比较两个数与式的大小，提高数学运算能力；C.培养学生观察、类比、辨析、运用的综合思维能力，体会化归与转化、类比等数学思想，提高学生数学运算和逻辑推理能力；1.数学抽象：在实际问题中发现不等关系，并表示出不等关系；2.逻辑推理：作差法的原理；3.数学运算：用作差法比较大小；4.直观想象：在几何图形中发现不等式；5.数学建模：能够在实际问题中构建不等关系，解决问题；1.教学重点：将不等关系用不等式表示出来，用作差法比较两个式子大小；2.教学难点：在实际情景中建立不等式(组)，准确用作差法比较大小； 多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、情景引入，温故知新（一）、情境导学1.购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过1.1m(含1.1m)而不超过1.5m的儿童，享受半价客票、加快票和空调票(简称儿童票)，超1.5m时应买全价票．每一成人旅客可免费携带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．从数学的角度，应如何理解和表示“不超过”“超过”呢？2.展示新闻报道：明天白天广州的最低温度为18℃，白天最高温度为30℃。师：明天白天广州的温度t℃满足怎样的不等关系？生：t大于或等于18小于或等于30老师引出课题板书：不等关系与不等式师：常见的不等号有？生：大于（>），小于（120B．x＋yN   B．M＝NC．M0，∴M>N，故选A．2.比较x2＋y2＋1与2(x＋y－1)的大小；3.设a∈R且a≠0，比较a与的大小．[解析] 2.x2＋y2＋1－2(x＋y－1)＝x2－2x＋1＋y2－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0，∴x2＋y2＋1＞2(x＋y－1)．3.由a－＝当a＝±1时，a＝；复习作差比较法，代数式大小的方法，理解作差法的原理，通过练习达到灵活运用；通过练习巩固作差法，发展学生数学运算素养，提供运算的准确性、灵活性和速度。 当－1＜a＜0或a＞1时，a＞；当a＜－1或0＜a＜1时，a＜.三、达标检测1.完成一项装修工程,请木工需付工资每人500元,请瓦工需付工资每人400元,现有工人工资预算20000元,设木工x(x≥0)人,瓦工y(y≥0)人,则关于工资x,y满足的不等关系是(  )A.5x+4yBB.A0,所以A>B,故选A.【答案】 A3.已知甲、乙两种食物的维生素A,B含量如下表:设用xkg的甲种食物与ykg的乙种食物配成混合食物,并使混合食物内至少含有56000单位的维生素A和63000单位的维生素B.试用不等式组表示x,y所满足的不等关系.【解析】由题意知xkg的甲种食物中含有维生素A600x单位,含有维生素B800x单位,ykg的乙种食物中含有维生素A700y单位,含有维生素B400y单位,则xkg的甲种食物与ykg的乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x+700y)单位,含有维生素B(800x+400y)单位,则有通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。 4.将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短x,构成一个钝角三角形,试用不等式(组)表示x应满足的不等关系.【解析】各边都缩短x后,长度仍然为正数,只要最短边大于零即可,因此5-x>0.而要构成三角形,还要满足(5-x)+(12-x)>13-x.当三角形是钝角三角形时,应使最大角是钝角,此时只需最长边所对的角是钝角即可,因此(5-x)2+(12-x)20,所以2x2+3>x+2.(2)(a+2)-.由于a2+a+1=>0,所以当a>1时,>0,即a+2>;当ab,c0,即ac>bc;当cbc⇒a>b,c>0或ad⇒a+c>b+d变形ab,c>d.(6)乘法单调性文字语言两边都是正数的两个同向不等式相乘,所得的不等式与原不等式同向.符号语言a>b>0,c>d>0⇒ac>bd作用两个不等式相乘的变形证明:∵a>b>0,c>0,∴ac>bc.∵c>d>0,b>0,∴bc>bd.∴ac>bd.归纳总结：1.这一性质可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,这就是说,两个或更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向.2.a>b>0,cbn(n∈N,且n≥1)作用不等式两边的乘方变形性质(7)可看作性质(6)的推广:当n是正奇数时,由a>b可得an>bn.跟踪训练：1.给出下列结论：①若ac>bc，则a>b；②若ab－d；⑤若a>b，c>d，则ac>bd.其中正确结论的序号是___③_.解析 ①当c>0时，由ac>bc⇒a>b，当cbc⇒ab－d>0，∴00，∴>0，∴≤，∴≤.归纳总结：利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．典例解析：利用不等式的性质求取值范围例2 已知－≤α