人教版高中数学人教版必修第一册：3.3《幂函数》精品教案

3.3幂函数本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修一》（人教A版）第三章《函数的概念与性质》，本节课是第3节，幂函数是基本初等函数之一，是在学生系统学习了函数概念与函数性质之后，进入高中以来遇到的第一种特殊函数，是对函数概念及性质的应用，能培养学生应用性质（定义域，值域，图象，单调性，奇偶性）研究一个函数的意识。本节课从概念到图象，通过探究归纳出幂函数的性质，让学生再次体会利用信息技术来探索函数的图象和性质，从教材整体安排上来看，学习幂函数是为了让学生进一步了解研究函数的方法，学会利用这种方法去研究其他函数。因而本节课更是对学生研究函数方法和能力的一个综合提升。课程目标学科素养A.理解幂函数的概念，会画幂函数的图象;B.结合这几个幂函数的图象，掌握幂函数的图象变化和性质；C.能应用幂函数性质解决简单问题。1.数学抽象：幂函数的概念；2.逻辑推理：由五个特殊幂函数的图象归纳幂函数的图象与性质；3.数学运算：求幂函数的解析式及比较大小；4.直观想象：由幂函数的图象的幂函数的性质；1.教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的一些性质；2.教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质。多媒体 教学过程教学设计意图核心素养目标一、温故知新，引入新课问题1：我们都学习过，请同学们思考这两个函数看有什么区别么？（学生讨论，很快有学生分析出区别，我于是请了成绩中等的学生回答）同学1：一个函数是指数函数，一个是二次函数。同学2：这两个函数自变量位置不同:。教师：这两位同学总结的非常好，这两个函数的形式一样，自变量的位置不同，而是我们学习过的指数函数，对于这个函数我们将进一步分析。二、探索新知探究一幂函数概念（一）实例观察，引入新课(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P=W元，P是W的函数（y=x）(2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2，S是a的函数（y=x2）。(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V=a3，S是a的函数（y=x3）。(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么正方形的边长a=。a是S的函数。（y=）(5)如果某人ts内骑车行进1km,那么他骑车的平均速度v=t-1，V是t的函数。（y=x-1）问题1：以上问题中的函数具有什么共同特征?学生反应：函数解析式是幂的形式，且指数是常数，底数是自变量。【设计意图】引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的一般特征.通过比较初中所学函数，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。通过具体实例，让学生观察函数具有的共同特征，归纳幂函数的概念，提高学生的解决问题、分析问题的能力。 （二）类比联想，探究新知1.幂函数的定义：一般地，函数y=xɑ叫做幂函数(powerfunction)，其中x为自变量，ɑ 为常数。注意:幂函数的解析式必须是y=xa的形式，其特征可归纳为“系数为１，只有１项”．思考1：你能指几个学过的幂函数的例子吗？思考2：你能说出幂函数与指数函数的区别吗？式子[来源:学,科,网]名称[来源:Z.Com]axy指数函数：底数指数幂值幂函数：指数底数幂值思考3：如何判断一个函数是幂函数还是指数函数？看看自变量x是指数（指数函数）还是底数（幂函数）。练习：1、下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。【答案】（1）、（5）.探究二幂函数性质对于幂函数，我们只讨论时的情况，即：1.思考：我们应如何研究幂函数呢？作具体幂函数的图象→观察图象特征→总结函数性质2、在同一平面直角坐标系内作出幂函数的图象：通过思考，比较指数函数与幂函数的区别，进一步理解幂函数的概念及呈现形式的理解。提高学生分析问题、概括能力。通过练习，进一步巩固幂函数的概念，提高学生解决问题的能力。 3、性质：定义域RRR值域RR奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数单调性增函数增减增函数增，减公共点（1，1）例1.已知幂函数y=f(x)的图象经过点（3，），求这个函数的解析式。解：设。因为幂函数y=f(x)的图象经过点（3，），所以，所以，所以。例2.证明幂函数y=在[0，+∞)上是增函数通过函数图象，归纳幂函数的性质，提高学生分析问题、归纳能力。通过例题进一步理解幂函数的概念及单调性的证明方法，提高学生的解决问题的能力。 证明：三、达标检测1．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(2)＝(  )A.B．4C.D.【解析】 设幂函数为y＝xα，∵幂函数的图象经过点，∴＝4α，∴α＝－，∴y＝x－，∴f(2)＝2－＝，故选C.【答案】 C2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是(  )A．y＝xB．y＝x－C．y＝xD．y＝x【解析】 A中定义域和值域都是R；B中定义域和值域都是(0，＋∞)；C中定义域和值域都是R；D中定义域为R，值域为[0，＋∞)．【答案】 D3．设a∈，则使函数y＝xa的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是(  )通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。 A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,3【解析】 当a＝－1时，y＝x－1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数；当a＝1时，函数y＝x的定义域是R，且为奇函数；当a＝时，函数y＝x的定义域是{x|x≥0}，且为非奇非偶函数；当a＝3时，函数y＝x3的定义域是R且为奇函数．故选A.【答案】 A4．函数y＝x的图象是(  )【解析】 显然代数表达式“－f(x)＝f(－x)”说明函数是奇函数．同时当0＜x＜1时，x＞x，当x＞1时，x＜x.【答案】 B5．比较下列各组数的大小：(1)－8－与－；(2)－与－.【解】 (1)－8－＝－，函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，又>，则>.从而－8－，所以－