人教版高中数学人教版必修第一册：5.4.2《正弦函数、余弦函数的性质》精品教案

第五章三角函数5.4.2正弦函数、余弦函数的性质本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》第五章的5.4.2正弦函数、余弦函数的性质。本节的主要内容是由正弦函数、余弦函数的图象，由先前学习函数的经验，通过函数图像，观察总结函数性质，并应用函数性质解决问题。是学生对函数学习方法掌握情况的一次大检阅。因此注意对学生研究函数方法的启发，本节的学习有着极其重要的地位。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。课程目标学科素养1.了解周期函数、周期、最小正周期的含义．a.数学抽象：函数性质的总结；2.掌握y＝sinx(x∈R)，y＝cosx(x∈R)的周期b.逻辑推理：由正余弦函数性质解决y＝Asin(ωx性、奇偶性、单调性和最值．＋φ)的性质；3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋c.数学运算：运用函数性质解决问题；φ)的周期，单调区间及最值．d.直观想象：运用函数图像归纳函数性质；e.数学建模：正余弦函数的性质及应用；4.通过作正弦函数与余弦函数的性质探究，培养学生数形结合和类比的思想方法。教学重点：y＝sinx(x∈R)，y＝cosx(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．教学难点：会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期，单调区间及最值．多媒体 教学过程设计意图核心教学素养目标（一）创设问题情境提出问题通过对函数学类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪习的回顾，提出些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？研究正弦与余弦问题探究函数性质的方根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇法，培养和发展偶性、最大（小）值等．另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学数学抽象、直观模型，与此对应的性质是特别而重要的．想象的核心素观察正弦函数的图象，可以发现，在图象上，横坐标每隔2π个单位养。长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律．实际上，这一点既可从定义中看出，也能从诱导公式（k∈Z）中得到反映，即自变量的值增加2π整数倍时所对应的函数值，与所对应的函数值相等．数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律．（二）问题探究1.周期性一般地，对于函数,如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的每一个值时，都有那么函数就叫做周期函数（periodicfunction）．非零常数T叫做这个函数的周期（period）．周期函数的周期不止一个．例如，２π，４π，６π，…以及－２π，－４π，－６π，…都是正弦函数的周期．事实上，且≠０，常数都是它的周期．如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期（minimalpositiveperiod）．根据上述定义，我们有：正弦函数是周期函数，（k∈Z且k≠０）都是它的周期，最小正周期是２π．类似地，余弦函数也是周期 通过对正弦函数，（k∈Z且k≠０）都是它的周期，最小正周期是２π．函数图像的分典例解析例2．求下列三角函数的周期：析，归纳总结周期性、奇偶性、(1)y＝3sinx，x∈R；(2)y＝cos2x，x∈R；（3）x∈R;单调性和最值，分析：通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式发展学生，直观而求出相应的周期．对于（２），应从余弦函数的周期想象、数学抽象、数学运算等核心性出发，通过代数变形得出，x∈R；对于（３），应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出素养；=,x∈R；【解】(1)"xÎR，有3sin(x＋π)＝3sinx，由周期函数的定义知，y＝3sinx的周期为2π.(2)令z=2x，由xÎR，得zÎR，且y=cosz的周期为2π.即因为cos(z＋2π)＝cosz，于是cos(2x＋2π)＝cos2x，所以cos2(x＋π)＝cos2x，xÎR由周期函数的定义知，y＝cos2x的周期为π.令,由得Z且的周期为即周期为2π.即，,于是，所以由周期函数的定义知，原函数的周期为4π.回顾例２的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？归纳总结求三角函数周期的方法：(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，2πA≠0，ω≠0)的函数，T＝.|ω| (3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．2.奇偶性观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点犗对称，余弦曲线关于x轴对称．这个事实，也可由诱导公式=；=得到．所以正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助?通过对正弦做一做1．(1)函数f(x)＝2sin2x的奇偶性为()函数图像的分A．奇函数B．偶函数析，归纳总结周C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数期性、奇偶性、33πx＋单调性和最值，(2)判断函数f(x)＝sin42的奇偶性．【答案】A发展学生，直观【解析】(1)∵f(x)的定义域是R，且f(－x)＝2sin2(－x)＝－2sin2x想象、数学抽象、＝－f(x)，∴函数为奇函数．数学运算等核心33π3x＋3－x3素养；(2)∵f(x)＝sin42＝－cosx，∴f(－x)＝－cos4＝－cosx，4433πx＋∴函数f(x)＝sin42为偶函数.归纳总结1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(－x)的关系．2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．3.单调性由于正弦函数是周期函数，我们可以先在它的一个周期的区间（如）上讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域．观察图5.4-8，可以看到：当由增大到时，曲线逐渐上升， 的值由-1增大到1；当由增大到时，曲线逐渐下降，的值由1减小到-1．的值的变化情况如表5.4.2所示：就是说，在区间上单调递增，上单调递减，有正弦函数的周期性可得；正弦函数在每一个闭区间（k∈Z）上都单调递增,其值从-1增大到1;在每一个闭区间（k∈Z）上都单调递减,其值从1减小到-1．类似地，观察余弦函数在一个周期区间（如）上函数值的变化规律，将看到的函数值的变化情况填入表5.4.3由此可得，,在区间上单调递增，其值从-1增大到1；上单调递增，通过对典型问题的分析解 余弦函数在每一个闭区间,上都单调递增，决，提高学生对其值从-1增大到1；在每一个闭区间,上都函数性质的理单调递减，其值从1减小到-1．解。发展学生数学建模、逻辑推函数名递增区间递减区间理，直观想象、数学抽象、数学3[2k,2k][2k,2k]y=sinx2222运算等核心素养；[(2k1),2k][2k,(2k1)](kz)y=cosx４.最大值与最小值从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到，正弦函数当且仅当＝时,取得最大值１，当且仅当＝时,取得最小值－１；余弦函数当且仅当＝时,取得最大值１，当且仅当＝时,取得最小值－１．例3.下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量的集合，并求出最大值、最小值．（１），∈R；（２），∈R．解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值．（１）使函数，∈R取得最大值的的集合，就是使函数，∈R，取得最大值的的集合｛｜＝2kπ，k∈Z｝；使函数，∈R，取得最小值的狓的集合，就是使函数，∈R取得最小值的的集合｛｜＝（2k+1）π，k∈Z｝．函数，∈R的最大值是１＋１＝２；最小值是－１＋１＝０．(2)解：令z＝2，使函数），z∈R取得最大值的z 的集合，就是使，z∈R取得最小值的z的集合｛z｜＝-+2kπ，k∈Z｝由z＝2＝-+2kπ，得＝-+kπ．所以，使函数，∈R取得最大值的的集合是｛｜＝-+kπ,k∈Z｝．同理，使函数，∈R取得最小值的的集合是｛｜＝+kπ,k∈Z｝．函数，∈R的最大值是３，最小值是－３．例4.不通过求值，指出下列各式的大小：(1);分析：可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小．为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小．解：（１）因为-，所以(2)cos;cos解：cos=cos=cos；coscos=cos因为，所以coscos；cos例5.求函数,∈［－２π，２π］的单调递增区间． 分析：令=当自变量的值增大时，的值也随之增大，因此若函数在某个区间上单调递增，则在相应的区间上也一定单调递增．解：令=，∈［-２π，２π］，则∈因为，∈的单调递增区间是∈，且由，得．所以，函数,，∈［-２π，２π］的单调递增区间是三、当堂达标1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)通过练习巩固本(1)若sin(60°＋60°)＝sin60°，则60°为正弦函数y＝sinx的一个周节所学知识，巩期．()*固对正余弦函性(2)若T是函数f(x)的周期，则kT，k∈N也是函数f(x)的周期．()(3)函数y＝sinx，x∈(－π，π]是奇函数．()质的理解，增强1．【解析】(1)×.举反例，sin(40°＋60°)≠sin40°，所以60°不是正弦函数学生的直观想y＝sinx的一个周期．(2)√.根据周期函数的定义知，该说法正确．象、数学抽象、(3)×.因为定义域不关于原点对称．数学运算、逻辑【答案】(1)×(2)√(3)×推理的核心素xπ－2.函数f(x)＝3sin24，x∈R的最小正周期为()养。πA.B．πC．2πD．4π21π1πx＋4π－x－2.【解析】因为3sin24＝3sin24＋2π＝1πx－3sin24，即f(x＋4π)＝f(x)，所以函数f(x)的最小正周期为4π.【答案】D πx＋3.函数f(x)＝sin6的一个递减区间是()ππ22π2－，－π，π，πA.22B．[－π，0]C.33D.23π3π＋2kπ，π＋2kπ3.【解析】令x＋∈22，k∈Z，6π4π4π＋2kπ，π＋2kπ，得x∈33，k∈Z，k＝0时，区间33是函数f(x)的一π2π4π，π，个单调递减区间，而23⊆33.故选D.【答案】D4．比较下列各组数的大小：7ππ－(1)cos150°与cos170°；(2)sin与sin5.54．【解】(1)因为90°