人教版高中数学人教版必修第一册：5.4.3《正切函数的图像与性质》精品教案

第五章三角函数5.4.3正切函数的图像与性质本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》第五章的5.4.3正切函数的图像与性质。本节的主要内容是由正弦函数、余弦函数的图象与性质学习的经验，通过运用数形结合的思想方法和类比思想，对正切函数的图像与性质进行研究，并应用函数性质解决问题。是学生对函数学习方法掌握情况的一次大检阅。因此注意对学生研究函数方法的启发，本节的学习有着极其重要的地位。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。课程目标学科素养1.理解并掌握正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性。并能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题。2.会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象。3.通过正切函数图像与性质的探究，培养学生数形结合和类比的思想方法。a.数学抽象：函数性质的总结；b.逻辑推理：由正切函数性质解决y＝Atan(ωx＋φ)的性质；c.数学运算：运用函数性质解决问题；d.直观想象：函数图像与函数性质相对应；e.数学建模：正切函数的性质及应用；教学重点：正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性教学难点：能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题。多媒体教学过程设计意图 核心教学素养目标（一）创设问题情境提出问题（１）根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象与性质？（２）你能用不同的方法研究正切函数吗？有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图象．问题探究1.周期性由诱导公式，∈R，且≠+，∈Z,可知，正切函数是周期函数，周期是π．2.奇偶性由诱导公式=，∈R，且≠+，∈Z，可知，正切函数是奇函数．你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？可以先考察函数,∈[0,的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展．如何画出函数,∈[0,的图象的图象？如图5.4.9，设∈[0,，在直角坐标系中画出角的终边与单位圆的交点B（,）过点B作轴的垂线，垂足为M；过点A（１，０）作轴的垂线与角的终边交于点T，则通过对函数学习的回顾，提出研究正切函数图像与性质的方法，培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养。 ===；由此可见，当∈[0,时，线段AT的长度就是相应角的正切值．我们可以利用线段AT画出函数∈[0,的图象，如图5.4.10所示．观察图5.4.10可知，当∈[0,时，随狓的增大，线段AT的长度也在增大，而且当趋向于时，AT的长度趋向于无穷大．相应地，函数∈[0,的图象从左向右呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线＝你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？正切函数的图象有怎样的特征？根据正切函数是奇函数，只要画,∈[0,的图象关于原点的对称图形，就可得到,∈(-,0]的图象；根据正切函数的周期性，只要把函数,∈(-,的图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数∈R，且≠+，∈Z的图象，我们把它叫做正切曲线（tangentcurve）（图5.4.11）．通过对正弦函数图像的分析，归纳总结周期性、奇偶性、单调性和最值，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；通过对正切 从图5.4.11可以看出，正切曲线是被与轴平行的一系列直线+，∈Z所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的．３.单调性观察正切曲线可知，正切函数在区间(-,上单调递增．由正切函数的周期性可得，正切函数在每一个区间(-+k,+k),k∈Z,上都单调递增．４.值域当∈(-,时，在（－∞，＋∞）内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值．因此，正切函数的值域是实数集R．典例解析例６.求函数的定义域、周期及单调区间．分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论．解：自变量的取值应满足;≠+；即≠+2所以，函数的定义域是函数图像与性质的分析，归纳总结周期性、奇偶性、单调性和最值，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；通过对典型问题的分析解决，提高学生对函数性质的理解。发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养； 设z=，又，所以=即=因为,都有=所以，函数的周期为２．由解得；因此，函数在区间(,),,上单调递增．归纳总结1．求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tanx有意义即x≠＋kπ，k∈Z.2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．3．求y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间时，由kπ－