人教版高中数学人教版必修第一册：5.4.1《正弦函数、余弦函数的图像》精品教案

第五章三角函数5.4.1正弦函数、余弦函数的图像本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》第五章的5.4.1正弦函数、余弦函数的图像。本节的主要内容是正弦函数的图象，过去学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等，此前还学了锐角的正弦函数和任意角的正弦函数，在此基础上来学习正弦函数y=sinx的图象，为今后正弦函数的性质、余弦函数、正切函数的图象与性质，函数y=Asin(ωx+φ)的图象的研究打好基础，起到了承上启下的作用，因此，本节的学习有着极其重要的地位。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理的核心素养。课程目标学科素养a.数学抽象：由五点作图法；1.理解并掌握用单位圆作正弦函数以及作余b.逻辑推理：由正弦函数图像得出余弦函数图像；弦函数的图象的方法。c.数学运算：特殊三角函数的求解；2.利用单位圆中的三角函数线作出y=sinx,xd.直观想象：运用函数图像分析问题；∈R的图象，明确函数的图象；根据关系e.数学建模：正弦函数图像及其变换；cosx=sin(x+π／2)作出y=cosx,x∈R的图象。渗透数形结合和化归的数学思想。3.通过作正弦函数与余弦函数的图象，培养认真负责，一丝不苟的学习精神和勇于探索，勤于思考的科学素养。教学重点：理解并掌握用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象的方法。教学难点：理解作余弦函数的图象的方法。多媒体 教学过程设计意图核心教学素养目标（一）创设问题情境下面先研究函数，∈R的图象，从画函数，∈通过对三角函［０，２π］的图象开始．在［０，２π］上任取一个值，如何利用正数定义的回顾，弦函数的定义，确定正弦函数值并画出点T（，）？提出新的问题，（二）问题探究提出运用三角函如图5.4.1，在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆，⊙O数定义做正弦函与x轴正半轴的交点为A（１，０）．在单位圆上，将点A绕着点O旋数图像的方法，转弧度至点B，根据正弦函数的定义，点B的纵坐标．由此，培养和发展数学以为横坐标，为纵坐标画点，即得到函数图象上的点T（，）.抽象、直观想象的核心素养。若把x轴上从０到２π这一段分成１２等份，使的值分别为,,,…2π，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，再按上述画点T（，）的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点（图5.4.2）．事实上，利用信息技术，可使在区间［0,2π］上取到足够多的值而画出足够多的点T（，）,将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数，∈［0,2π］的图象. 通过对正弦函数图像的分析，归纳总结五点作图法，发展学生，直观想象、数学抽象、数学根据函数，∈［0,2π］的图象，你能想象函数运算等核心素养；，∈R的图象吗？由诱导公式一可知，函数，∈［２kπ，２（k＋１）π］，k∈Z且k≠０的图象与，∈［0,2π］的图象形状完全一致．因此将函数，∈［0,2π］的图象不断向左、向右平移（每次移动2π个单位长度），就可以得到正弦函数，∈R的图象（图5.4.4）．正弦函数的图象叫做正弦曲线（sinecueve），是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．思考：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？观察图5.4.3，在函数，∈［0,2π］的图象上，以下五个点：通过对正弦函数图像，推导在确定图象形状时起关键作用．描出这五个点，函数，∈［0,2π］出余弦函数图像的图象形状就基本确定了．因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图．这的方法，发展学种近似的“五点（画图）法”是非常实用的．由三角函数的定义可知，正生，逻辑推理、弦函数、余弦函数是一对密切关联的函数．下面我们利用这种关系，借助正弦函数的图象画出余弦函数的图象．直观想象、数学抽象、数学运算思考：你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图 形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？等核心素养；对于函数，由诱导公式得，∈R．而函数∈R的图象可以通过正弦函数，∈R的图象向左平移个单位长度而得到．所以，将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图5.4.5所示．你能说明理由吗？余弦函数，∈R的图象叫做余弦曲线（cosinecurve）．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．通过对典型类似于用“五点法”画正弦函数图象，找出余弦函数在区间［－π，π］问题的分析解上相应的五个关键点，将它们的坐标填入表5.4.1，然后画出，决，发展学生数学建模、逻辑推∈［－π，π］的简图（三）典例解析理，直观想象、例1、用“五点法”作出下列函数的简图．数学抽象、数学(1)y＝1＋sinx，x∈[0,2π]；运算等核心素(2)y＝-cosx，x∈[0,2π].养；【精彩点拨】在[0,2π]上找出五个关键点，用光滑的曲线连接即可．在直角坐标系中描出五点，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y＝1＋sinx，x∈[0,2π]的图象．π3πx0π2π22sinx010－10 【解析】(1)列1＋sinx12101表：(2)列表：π3x0ππ2π22cosx10－101-cosx-1010-1描点连线，如图你能利用函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，通过图象变换得到y＝1＋sinx，x∈[0,2π]的图象吗？同样地，利用函数y＝cosx，x∈[0,2π]图象，通过怎样的图象变换就能得到函数y＝-cosx，x∈[0,2π]的图象？方法与规律1．“五点法”是作三角函数图象的常用方法，“五点”即函数图象最高点、最低点与x轴的交点．2．列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用光滑的曲线连接五个关键点．三、当堂达标1．以下对于正弦函数y＝sinx的图象描述不正确的是()A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k∈Z上的图象形状相同，只是位置不同通过练习巩固本B．关于x轴对称节所学知识，巩C．介于直线y＝1和y＝－1之间 D．与y轴仅有一个交点固对正余弦函图【解析】观察y＝sinx的图象可知A，C，D正确，且关于原点中心对像的理解，增强称，故选B.学生的直观想【答案】B象、数学抽象、2．用“五点法”作函数y＝cos2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是()数学运算、逻辑π3πππ3π推理的核心素A．0，，π，，2πB．0，，，，π22424养。πππ2πC．0，π，2π，3π，4πD．0，，，，6323π3πππ3π【解析】令2x＝0，，π，和2π，得x＝0，，，，π，故选B.22424【答案】Bπ，－m3．点M2在函数y＝sinx的图象上，则m等于()A．0B．1C．－1D．2π【解析】由题意－m＝sin，∴－m＝1，∴m＝－1.2【答案】C4．函数y＝cosx与函数y＝－cosx的图象()A．关于直线x＝1对称B．关于原点对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称【解析】作出函数y＝cosx与函数y＝－cosx的简图(略)，易知它们关于x轴对称，故选C.【答案】C5．方程x2－cosx＝0的实数解的个数是__________．【解析】作函数y＝cosx与y＝x2的图象，如图所示，由图象，可知原方程有两个实数解．【答案】27π－x6．用“五点法”画出y＝cos2，x∈[0,2π]的简图． 7π－x【解】由诱导公式得y＝cos2＝－sinx，(1)列表：π3πx0π2π22－sin0－1010xπ3π，－1，1(2)描点：在坐标系内描出点(0,0)，2，(π，0)，2，(2π，0)．(3)作图：将上述五点用平滑的曲线顺次连接起来．四、小结学生根据课堂1.正、余弦函数的图象每相隔2π个单位重复出现，因此，只要记住它们学习，自主总结知识要点，及运在[0，2π]内的图象形态，就可以画出正弦曲线和余弦曲线.用的思想方法。2.作与正、余弦函数有关的函数图象，是解题的基本要求，用“五点法”注意总结自己在作图是常用的方法.学习中的易错点；五、作业1.课时练2.预习下节课内容