人教版高中数学人教版必修第一册：5.5.2《简单的三角恒等变换》教案设计

【新教材】5.5.2简单的三角恒等变换教学设计（人教A版）它位于三角函数与数学变换的结合点上，能较好反应三角函数及变换之间的内在联系和相互转换，本节课内容的地位体现在它的基础性上。作用体现在它的工具性上。前面学生已经掌握了两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式，并能通过这些公式进行求值、化简、证明，虽然学生已经具备了一定的推理、运算能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养.课程目标1.能用二倍角公式推导出半角公式，体会三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法．3.能利用三角恒等变换的技巧进行三角函数式的化简、求值以及证明，进而进行简单的应用．数学学科素养1.逻辑推理：三角恒等式的证明；2.数据分析：三角函数式的化简；3.数学运算：三角函数式的求值.重点：能用二倍角公式推导出半角公式，体会三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用；难点：能利用三角恒等变换的技巧进行三角函数式的化简、求值以及证明，进而进行简单的应用.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。一、情景导入前面已经学习过二倍角公式，那么如何用cosα表示sin2，cos2和tan2？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课 阅读课本225-226页，思考并完成以下问题1.半角公式是什么？2.辅助角公式是什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1．半角公式2．辅助角公式asinx＋bcosx＝sin(x＋θ)(其中tanθ＝)．四、典例分析、举一反三题型一化简求值问题例1 设5π＜θ＜6π，cos＝a，则sin等于(  )A．  B．C．－D．－【答案】D【解析】∵5π＜θ＜6π，∴∈，∈.又cos＝a，∴sin＝－＝－.解题技巧：（利用半角公式化简求值）1．化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．2．利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系．(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．(3)选公式：涉及半角公式的正、余弦值时，常利用计算．提醒：已知cosα的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．跟踪训练一1．已知sinα＝－，π＜α＜，求sin，cos，tan的值．【答案】sin＝，cos＝－，tan＝－2.【解析】 ∵π＜α＜，sinα＝－，∴cosα＝－，且＜＜，∴sin＝＝，cos＝－＝－，tan＝＝－2.题型二三角恒等式的证明例2求证：＝sin2α.【答案】证明略.【解析】证明： 法一：用正弦、余弦公式．左边＝＝＝＝＝sincoscosα＝sinαcosα＝sin2α＝右边， ∴原式成立．法二：用正切公式．左边＝＝cos2α·＝cos2α·tanα＝cosαsinα＝sin2α＝右边，∴原式成立．解题技巧：(三角恒等式证明的常用方法)(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简；(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．跟踪训练二1.求证：＝.【答案】证明略.【解析】 证明： 左边＝＝＝＝＝＝＝右边．所以原等式成立.题型三三角恒等变换与三角函数图象性质的综合例3已知函数f(x)＝coscos－sinxcosx＋.(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；(2)求函数f(x)的单调递增区间．【答案】 (1)函数f(x)的最小正周期为T＝π，函数f(x)的最大值为.(2)函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z. 【解析】 (1)∵f(x)＝coscos－sin2x＋＝－sin2x＋＝cos2x－sin2x－sin2x＋＝－－sin2x＋＝(cos2x－sin2x)＝cos.∴函数f(x)的最小正周期为T＝π，函数f(x)的最大值为.(2)由2kπ－π≤2x＋≤2kπ，k∈Z，得kπ－π≤x≤kπ－，k∈Z.函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.解题技巧：（应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤）应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤运用和、差、倍角公式化简↓统一化成f(x)＝asinωx＋bcosωx＋k的形式↓跟踪训练三1．已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－＋1(x∈R)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间；(3)若x∈，求f(x)的值域．【答案】(1)最小正周期为T＝π.(2)函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．(3)值域为[0，3]..【解析】f(x)＝sin2x＋(2cos2x－1)＋1＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin＋1. (1)函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.(2)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．∴函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．(3)∵x∈，∴2x＋∈，∴sin∈.∴f(x)∈[0，3].五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本228页习题5.5. 本节课通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认知，关注每名学生的个体差异和不同的学习需求，爱护学生的好奇心，求知欲、创设和谐、融洽、欢快的人为氛围，让学生自主地学，在学习中展现个性、表现个性、培养个性、塑造个性.