人教版高中数学人教版必修第一册：5.2.1《三角函数的概念》教案设计

【新教材】5.2.1三角函数的概念教学设计（人教A版）三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用。三角函数的概念是在初中对锐角三角函数的定义以及刚学过的“角的概念的推广”的基础上讨论和研究的。三角函数的定义是本章最基本的概念，对三角内容的整体学习至关重要，是其他所有知识的出发点。紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，可以自然地导出本章的具体内容：三角函数线、定义域、符号判断、值域、同角三角函数关系、多组诱导公式、多组变换公式、图象和性质。三角函数的定义在教材中起着承前启后的作用，一方面，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念，另一方面它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备。三角函数知识还是物理学、高等数学、测量学、天文学的重要基础。 课程目标1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．3.掌握公式一并会应用．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角三角函数的定义；2.逻辑推理：利用诱导公式一求三角函数值；3.直观想象：任意角三角函数在各象限的符号；4.数学运算：诱导公式一的运用.重点：①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；②掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.难点：理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。 一、情景导入在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？若以单位圆的圆心O为原点，你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？那么，角的概念推广之后，三角函数的概念又该怎样定义呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本177-180页，思考并完成以下问题1．任意角三角函数的定义？2．任意角三角函数在各象限的符号？3．诱导公式一？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1．单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．2．任意角的三角函数的定义(1)条件在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：图121(2)结论①y叫做α的正弦，记作sin_α，即sinα＝y；②x叫做α的余弦，记作cos_α，即cosα＝x；③叫做α的正切，记作tan_α，即tanα＝(x≠0)．(3)总结正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．思考：若已知α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，则其三角函数定义为？在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点O的距离是r(r＝＞0)． 三角函数定义定义域名称R正弦R余弦正切正弦函数、余弦函数、正切函数统称三角函数.3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数定义域sinαRcosαRtanα4．正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号(1)图示：图122(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．5．诱导公式一四、典例分析、举一反三题型一三角函数的定义及应用例1 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y＝－2x上，求sinα，cosα，tanα的值． 【答案】当α的终边在第二象限时，sinα＝，cosα＝－，tanα＝－2.当α的终边在第四象限时，sinα＝－，cosα＝，tanα＝－2.【解析】当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P(－1，2)，则r＝＝，所以sinα＝＝，cosα＝＝－，tanα＝＝－2.当α的终边在第四象限时，在α终边上取一点P′(1，－2)，则r＝＝，所以sinα＝＝－，cosα＝＝，tanα＝＝－2.解题技巧：（已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法）(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sinα＝，cosα＝.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．跟踪训练一1．已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cosθ＝x，求sinθ，tanθ.【答案】当x＝1时，sinθ＝，tanθ＝3；当x＝－1时，此时sinθ＝，tanθ＝－3.【解析】由题意知r＝|OP|＝，由三角函数定义得cosθ＝＝.又∵cosθ＝x，∴＝x.∵x≠0，∴x＝±1.当x＝1时，P(1,3)，此时sinθ＝＝，tanθ＝＝3.当x＝－1时，P(－1,3)，此时sinθ＝＝，tanθ＝＝－3.题型二三角函数值的符号例2 (1)若α是第四象限角，则点P(cosα，tanα)在第________象限．(2)判断下列各式的符号：①sin183°；②tan；③cos5. 【答案】（1）四；（2） ①sin183°0，tanα