4.2指数函数【题组一指数函数的判断】1（2019·南昌市新建一中高一月考）下列函数中，指数函数的个数为( )①②y＝ax；③y＝1x；④A．0B．1C．3D．4【答案】B【解析】由指数函数的定义可判定，只有②正确．故选B2．（2020·全国高一课时练习）下列各函数中，是指数函数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据指数函数的定义知，，A选项底数错误，B选项系数错误，C选项指数错误；D正确.故选：D3．（2020·全国高一课时练习）下列函数是指数函数的是________(填序号)．①y＝4x；②y＝x4；③y＝(－4)x；④y＝4x2.【答案】①【解析】形如且)的函数，叫指数函数.由指数函数定义，只有①是指数函数；②y＝x4是幂函数；③y＝(－4)x，由于底数，所以③不是指数函数；④y＝4x2不是指数函数.故答案为：①4．（2020·浙江高一课时练习）下列函数中是指数函数的是________.①；②；③；④；⑤；⑥.【答案】①④【解析】函数是指数函数，且也是指数函数，其它函数不符合指数函数的三个特征.故答案为：①④.
5．（2020·河北鹿泉区第一中学高二月考）若函数是指数函数，则（）A．B．C．或D．且【答案】B【解析】由指数函数的定义，得，解得．故选：B6．（2020·全国高一课时练习）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（）A．且B．且C．且D．【答案】C【解析】由于函数（是自变量）是指数函数，则且，解得且.故选：C.【题组二定义域和值域】1．（2020·沙坪坝.高一期末）已知实数且,若函数的值域为,则的取值范围是()A．B．C．D．【答案】D【解析】实数且,若函数的值域为,当时,当时,的值域为,与值域为矛盾,所以不成立当时,对于函数,,函数的值域为.所以只需当时值域为的子集即可.即,解得（舍去）综上可知的取值范围为故选:D
2．（2020·高一月考）函数的定义域为__________.【答案】【解析】函数的自变量满足：，解得即.故答案为：3．函数的定义域为______________．【答案】【解析】换元，得出，解得（舍去）或，即，解得.因此，函数的定义域为，故答案为.4．（2020·浙江金华.高一期末）已知函数，则的最小值是_____________.【答案】【解析】当时，函数单调递增，此时；当时，设，，此时，．综上可知，函数的最小值是．故答案为：．5．（2020·山东滨州.高三三模）已知函数．若，使得，则实数的最大值为__________．
【答案】2【解析】由题意可知，函数在的值域是函数在上值域的子集，，，等号成立的条件是，即，成立，即函数在的值域是，是增函数，当时，函数的值域是，所以，解得：，所以实数的最大值是2.故答案为：26．（2020·吉林南关.长春市实验中学高二期中（文））已知函数，若“对任意，存在，使”是真命题，则实数m的取值范围是__________.【答案】【解析】因为“对任意，存在，使”是真命题，所以只需，因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以，因为函数在上单调递减，所以所以，故答案为：7．（2020·贵州高三其他（理））函数的值域为____________.
【答案】【解析】，，，，所以，则.故答案为：8．（2020·上海高三专题练习）函数的值域是_________.【答案】【解析】设当时，有最大值是9；当时，有最小值是-9，，由函数在定义域上是减函数，∴原函数的值域是故答案为9．（2020·陕西新城.高二期末（文））若函数有最大值3，则实数a的值为__________.【答案】2【解析】令，则，由题意有最大值3，则有最小值，所以且，解得.故答案为：210．（2020·上海高一课时练习）函数在的最大值为，那么________.【答案】【解析】令，则，对称轴为，在单调递增，所以，解得.故答案为：
11．（2020·上海黄浦.高三二模）已知函数的定义域和值域都是，则________．【答案】【解析】当时，函数在上单调递增，所以，即，此时方程组无解.当时，函数在上单调递减，所以，即，解得：所以，则故答案为：.【题组三指数函数性质】1．（2019·宁夏贺兰县景博中学高一月考）函数的增区间是________________.【答案】【解析】函数的定义域为，令，则，因为在上单调递减，而在上单调递减，所以函数的增区间为.故答案为：2．（2020·四川高一月考）若函数在区间上单调递减，则实数
的取值范围是__________．【答案】【解析】本题等价于在上单调递增，对称轴，所以，得．即实数的取值范围是．3．（2020·黑龙江萨尔图.高二期末（文））已知，，，则，，的大小关系是______．【答案】【解析】∵指数函数是单调减函数，，∴,是单调增函数，∴，∴，故答案为：.4．（2019·贵州高二学业考试）已知在上恒成立，则实数的最大值是__________.【答案】2【解析】由指数函数的性质，可得在为单调递增函数，所以，可得，即最小值为2，又由在上恒成立，所以，即实数的最大值2.故答案为：2.5．（2020·上海高一课时练习）求下列函数的定义域和值域，并写出其单调区间.（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）定义域：，值域：，减区间：；（2）定义域：，值域：，减区间：和；（3）定义域：R，值域：，增区间：，减区间：；（4）值域，减区间：，增区间：【解析】（1）由得，所以定义域为，又，所以，，所以值域中，
在上是减函数，所以的减区间是；（2）由得，所以定义域是，又，所以值域是，在和上都是增函数，所以的减区间是和；（3）定义域是，又，所以值域中，在上递增，在上递减，所以的增区间，减区间是；（4）定义域是，令，由，所以，，所以，值域，又在上递减，在上递增，而是减函数，所以的减区间是，增区间．6．（2019·江西省遂川中学）若函数为奇函数．（1）求的值；（2）求函数的定义域；（3）求函数的值域．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）记，∵是奇函数，∴，∴；
（2），，∴定义域为；（3）由（1），∵，∴或，∴或，∴或．∴值域为．【题组四定点】1．（2020·全国高一课时练习）已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（）A．(－1，5)B．(－1，4)C．(0，4)D．(4，0)【答案】A【解析】当，即时，，为常数，此时，即点P的坐标为(－1，5).故选：A.2．（2020·高二期末（理））函数且的图象过定点，这个点的坐标为______【答案】【解析】令，，所以函数过定点.故答案为:.3．（2020·公主岭市第一中学校高一期中（理））函数的图象恒过定点P，则点P的坐标为________.【答案】【解析】由指数函数过定点且图像向右平移1个单位，向上移动1个单位得到图像，所以函数过定点故答案为：4．（2019·全国高三其他（文））函数（且）的图象过定点，则点
的坐标为______.【答案】【解析】由得,此时,即函数过定点，故答案为:.【题组五图像】1．（2020·浙江高一课时练习）二次函数与指数函数的图像的交点个数为（）A．3B．2C．1D．0【答案】C【解析】二次函数，且时，；时，.指数函数,当时，；时，.两个函数上均单调递减，在坐标系中画出与的图象，如图所示，由图可得，两个函数图像的交点个数为1.故选：C.2．（2020·河南高二月考（理））函数的图象大致为（）A．B．
C．D．【答案】B【解析】作出函数的图象，如下图所示，将的图象向左平移个单位得到图象.故选：B3．（2019·辛集市第二中学高二期中）已知a＞1，则函数y=ax与y=（a-1）x2在同一坐标系中的图象可能是（ ）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵a＞1，∴函数y=ax为增函数，函数y=（a-1）x2在（-∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数．故选：A．
4．（2020·上海高三专题练习）已知,则函数的图像必定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】此题考查指数函数的图像的性质和指数函数的上下平移；有已知得到：此指数函数是减函数，分布在第一，二象限，渐近线是轴，即；（）是由指数函数向下平移大于1个单位得到的，即原来指数函数所过的定点向下平移到原点的下方了，所以图像不经过第一象限，所以选A，如下图所示：5．（2020·四川成都七中高一月考）设且则函数与在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．
C．D．【答案】C【解析】对A，中的，中的，不能统一，错误；对B，中的，中的，不能统一，错误；对C，中的，中的，正确；对D，中的，中的，不能统一，错误；故选：C.6．（2019·安徽省肥东县第二中学高一期中）已知在同一坐标系下，指数函数和的图象如图，则下列关系中正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】很显然，均大于1；与的交点在与的交点上方，故，综上所述:.故选:C.
7．（2019·伊宁市第八中学高一期中）若函数的图象不经过第二象限，则有（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，当时，，所以函数的图象不经过第二象限，则有，解得，故选：D.8．（2019·安徽高一月考）若函数，（，且）的图像经过第一，第三和第四象限，则一定有（）A．且B．且C．且D．且【答案】B【解析】根据指数函数的图象和性质可知，要使函数y＝ax﹣（b+1）（a＞0且a≠1）的图象经过第一、三、四象限，则函数为增函数，∴a＞1，且f（0）＜0，即f（0）＝1﹣b＜0，解得b＞1，故选：B．9．（2019·河南中原.高一开学考试）若函数（且）的图象经过第二、三、四象限，则一定有（）．A．且B．且C．且D．且【答案】C【解析】，经过二、三、四象限，则其图像应如图所示：
所以，，即，故选B.10．（2020·全国高一课时练习）函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，的定义域为，排除C,D；当时，，∵，∴在上单调递减，排除A，故选B.【题组六综合运用】1．（2020·安徽贵池池州一中高二期中（文））已知函数，.（1）当时，，求函数的值域；（2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，令，由，得，
，当时，；当时，．∴函数的值域为；（2）设，则，在对任意的实数x恒成立，等价于在上恒成立，∴在上恒成立，∴，设，，函数在上单调递增，在上单调递减，∴，∴．2．（2020·河北承德高一期末）已知函数，.（1）当时，求的值域；（2）若的最大值为，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）当时，在上单调递减，故，，所以的值域为.（2），令，则原函数可化为，其图象的对称轴为.①当时，在上单调递减，
所以，无解；②当时，，即，解得；③当时，在上单调递增，所以，解得，不合题意，舍去.综上，的值为.3．（2019·甘肃城关兰州五十一中高一期中）已知函数，（1）若，求的单调区间；（2）若有最大值3，求的值.（3）若的值域是，求的取值范围.【答案】（1）函数f(x)的递增区间是(−2,+∞),递减区间是(−∞,−2)；（2）a=1；（3）{0}【解析】(1)当a=−1时,，令，由于g(x)在(−∞,−2)上单调递增,在(−2,+∞)上单调递减，而在R上单调递减，所以f(x)在(−∞,−2)上单调递减,在(−2,+∞)上单调递增，即函数f(x)的递增区间是(−2,+∞),递减区间是(−∞,−2).(2)令,,由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值−1，
因此=−1，解得a=1.即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y=h(x)的值域为(0,+∞).应使的值域为R，因此只能有a=0.因为若a≠0,则h(x)为二次函数，其值域不可能为R.故a的取值范围是{0}.4．（2019·浙江高二学业考试）已知函数，．（1）若函数为奇函数，求实数的值．（2）若对任意的都有成立，求实数的取值范围．【答案】（I）(II)【解析】（1）已知函数为奇函数，由，求得的值；（2）恒成立问题通常是求最值，将原不等式整理为对恒成立，进而求在上的最小值，得到结果.试题解析：（1）因为是奇函数，所以，即所以对一切恒成立，所以.（2）因为，均有即成立，所以对恒成立，所以,因为在上单调递增，所以，所以.
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