4.4对数函数【题组一对数函数的概念辨析】1．（2020·全国高一课时练习）下列函数是对数函数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由对数函数的定义：形如且的形式，则函数为对数函数，只有D符合.故选D2．（2020·全国高一课时练习）已知函数f(x)＝loga(x＋2)，若图象过点(6,3)，则f(2)的值为( )A．－2B．2C．D．－【答案】B【解析】函数的图象过点，则故选3．（2019·北京高二学业考试）如果函数（且）的图象经过点，那么的值为（）A．B．C．2D．4【答案】C【解析】因为图象经过点，所以，所以且且，解得：，故选：C.4．（2020·分校高一课时练习）下列函数是对数函数的是( )A．y＝log3(x＋1)B．y＝loga(2x)(a>0，且a≠1)C．y＝logax2(a>0，且a≠1)D．y＝lnx【答案】D【解析】形如的函数为对数函数，只有D满足.故选D.5．（2019·全国高一课时练习）已知对数函数，则______。【答案】2
【解析】由对数函数的定义，可得，解得。故答案为：．【题组二单调性（区间）】1．（2020·甘肃省会宁县第四中学高二期末（文））函数的单调递增区间为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，可得函数在单调递减，在单调递增，又由函数，满足，解得或，根据复合函数的单调性，可得函数的单调递增区间为.故选：C.2．（2019·浙江高一期中）函数的单调递增区间是()A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得到，令，则在上递减，而在上递减，由复合函数单调性同增异减法则，得到在上递增，故选：A3．（2020·荆州市北门中学高一期末）已知函数f（x）=ln（–x2–2x+3），则f（x）的增区间为A．（–∞，–1）B．（–3，–1）C．[–1，+∞）D．[–1，1）【答案】B【解析】由，得,当时，函数单调递增，函数单调递增；当时，函数单调递减，
函数单调递减,选B.4．（2018·山西平城·高一期中）函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）A．或B．C．D．【答案】B【解析】，因为在上单调递增，当时，外函数为减函数，根据复合函数“同增异减”可得在定义域内为减函数不满足题意，当时，外函数为增函数，根据复合函数“同增异减”可得在定义域内为减函数且，所以满足题意，故选择B．5．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一期中）已知是上的减函数，那么的取值范围是__________.【答案】【解析】因为是上的减函数，所以，解得，故答案为：【题组三定义域和值域】1．（2020·全国高一课时练习）函数的定义域是（）
A．B．C．D．【答案】C【解析】由对数函数的定义域只需，解得，所以函数的定义域为.故选：C2．（2020·宁夏兴庆·高二期末（文））函数的定义域为()A．B．C．D．【答案】D【解析】函数有意义等价于，所以定义域为，故选D.3．（2020·河北石家庄·高二期末）若定义在上的函数的值域为，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C，∴在是单调递减，在上单调递增，，又，由题意，，且和中至少有一个取到．即，，此时，若，则，，∴的最小值是．故选：C．4．（2020·江苏鼓楼·南京师大附中高三其他）函数的定义域为__________．【答案】
【解析】由题意得，得，解得，所以函数的定义域为，故答案为：5.（1）（2019·广东深圳高中高考模拟（文））函数的值域为________.（2）（2019·河北武邑中学高一期中）若函数.则函数的值域是（）A．B．C．D．【答案】（1）（2）A【解析】（1）且值域为：本题正确结果：（2）因为时，；时，所以函数的值域是，故选A.6.（2019·高三月考（理））函数的值域为，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．（2）已知函数，若的值域为R，则实数a的取值范围是( )A.(1,2]B.(－∞，2]C.(0,2]D.[2，＋∞)【答案】（1)D(2)A【解析】(1)若函数的值域为R，故函数y＝ax2+2x+a能取遍所有的正数．当a＝0时符合条件；
当a＞0时，应有△＝4﹣4a2≥0，解得-1≤a≤1，故00，且a≠1)过定点P，则点P的坐标是__________．【答案】(1，3)【解析】令，则，所以函数过定点.故答案为：.2．（2020·新疆克拉玛依市高级中学高一期末）已知函数f(x)的图象恒过定点P，则点P的坐标是____________.【答案】（2,4）【解析】令x-1=1,得到x=2,把x=2代入函数得，所以定点P的坐标为（2,4）.故答案为：（2,4）3．（2020·黑龙江高二期末）函数且的图象所过定点的坐标是________.【答案】【解析】由可令，解得，所以图象所过定点的坐标是4．函数y=1+loga（x+2）（a＞0且a≠1）图象恒过定点A，则点A的坐标为______．【答案】（-1，1）【解析】由对数函数的性质，令x+2=1可知y=1所以y=1+loga（x+2）（a＞0且a≠1）图象恒过定点A（－1，1），故答案为：（－1，1）.【题组七图像】1．（2020·新疆兵团第二师华山中学）函数与在同一平面直角坐标系下的图像大致是（）
A．B．C．D．【答案】D【解析】，由指数函数的图象知，将函数的图象向左平移一个单位，即可得到的图象，从而排除选项A,C；将函数的图象向上平移一个单位，即可得到的图象，从而排除选项B，故选D．2．（2019·四川仁寿一中高三其他（文））且）是增函数，那么函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵可变形为，若它是增函数，则，，∴为过点（1，0）的减函数，∴为过点（1，0）的增函数，∵图象为图象向左平移1个单位长度，
∴图象为过（0，0）点的增函数，故选D．3．（2020·高三期中（文））若函数的图象如图，则函数的图象为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由函数单调递减可得，当时，，解得.可知函数，定义域为，值域为，因为，.故选：C.4．（2020·全国）函数的大致图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D
【解析】取，得到，即函数过点，排除A；因为为单调增函数，故在，单调递减，排除BC.故选：D5．（2020·全国高一课时练习）图中曲线是对数函数的图象，已知取，，，四个值，则相应于，，，的值依次为 A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，【答案】A【解析】由已知中曲线是对数函数的图象，由对数函数的图象和性质，可得，，，的值从小到大依次为：，，，，由取，，，四个值，故，，，的值依次为，，，，故选：．【题组八对数函数综合运用】1．（2020·河北邢台·高二期末）已知，函数．（1）当时，解不等式；（2）若对于任意在区间上的最大值与最小值的和不大于1，求m的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以，则解得
不等式的解集为；（2）由题易知：为增函数，则在区间上的最大值与最小值分别为．对于任意在区间上的最大值与最小值的和不大于1，等价于对于任意恒成立，即对于任意恒成立．设，因为，所以在上单调递增，所以，令，解得．综上，m的取值范围为．2．（2020·通榆县第一中学校高二期末（文））已知．（1）求的定义域；（2）证明：在上为单调递增函数；（3）求在区间上的值域．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1），，，的定义域为，（2）在上为增函数，在上也为增函数，根据复合函数的单调性，在上为单调递增函数；
（3）由（2）可知在区间上单调递增，，，，在区间上的值域为．3．（2020·高一月考）已知函数（1）若函数的定义域为，求的取值范围；（2）若函数的值域为，求的取值范围.【答案】（1）（2）或【解析】（1）函数的定义域为，对任意的都成立则，解得（2）若函数的值域为，则函数的值域包含则，解得或4．（2020·怀仁市第一中学校云东校区高一期末（理））已知函数.(1)当时,求；(2)求解关于的不等式；(3)若恒成立,求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）见解析；（3）【解析】（1）当时，（2）由得：或当时，解不等式可得：或
当时，解不等式可得：或综上所述：当时，的解集为；当时，的解集为（3）由得：或①当时，，或，解得：②当时，，或，解得：综上所述：的取值范围为5．（2020·高二期末（文））设f（x）＝loga（1+x）+loga（3﹣x）（a＞0，a≠1）且f（1）＝2．（1）求a的值及f（x）的定义域；（2）求f（x）在区间[0,]上的最大值和最小值．【答案】（1）a＝2，定义域为（﹣1,3）；（2）最大值为f（1）＝2，最小值为f（0）＝log23．【解析】（1）由题意知，，解得﹣1＜x＜3；故f（x）的定义域为（﹣1,3）；再由f（1）＝2得，loga（1+1）+loga（3﹣1）＝2；故a＝2.综上所述：函数定义域为，.（2）f（x）＝log2（1+x）（3﹣x），∵x[0,]，∴（1+x）（3﹣x）[3,4]，故f（x）在区间[0,]上的最大值为f（1）＝2；f（x）在区间[0,]上的最小值为f（0）＝log23．
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