5.7三角函数的应用【题组一模型y=Asin(wx+ψ)+B】1．（2020·浙江高一课时练习）如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数，则8时的温度大约为________（精确到）．【答案】13【解析】由图像可得，，，∴，．∵最低点坐标为，∴，得，于是，∴，取，∴．当时，．故答案为：132．（2020·浙江高一课时练习）已知某海浴场的海浪高度是时间（其中，单位：时）的函数，记作，下表是某日各时的浪高数据：036912151821241.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，曲线可近似地看成是函数
的图象，根据以上数据，函数的解析式为________．【答案】【解析】由题意得，，，∴，．又，∴．从而．故答案为：3．（2020·全国高一课时练习）电流强度随时间变化的关系式是，则当时，电流强度为（）A．5AB．2.5AC．2AD．－5A【答案】B【解析】当时，.故选：.4．（2020·全国高一课时练习）某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：（1）求实验室这一天的最大温差；（2）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？【答案】（1）最大温差为4℃；（2）在10时至18时实验室需要降温.【解析】（1）因为所以，当时，；当时，
于是在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.（2）依题意，当时实验室需要降温.故有，即.又，因此，即.故在10时至18时实验室需要降温.5．（2020·陕西渭滨·高一期末）景区客栈的工作人员为了控制经营成本，减少浪费，合理安排入住游客的用餐，他们通过统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约600人；③2月份入住客栈的游客约为200人，随后逐月递增直到8月份达到最多.（1）若入住客栈的游客人数y与月份之间的关系可用函数（，，）近似描述，求该函数解析式；（2）请问哪几个月份要准备多于650人的用餐？【答案】（1）；（2）7，8，9三个月.【解析】（1）因为函数为，由①，周期，所以；由②，最小，最大，且，故；由③，在上递增，且，所以，所以，解得，
又最小，最大，所以，则，解得，由于，所以，所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为.（2）由条件可知，，化简得，所以，解得.因为，故.即只有7，8，9三个月份要准备多于650人的用餐.6．（2020·浙江高一单元测试）在自然条件下，对某种细菌在一天内存活的时间进行了一年的统计与测量，得到10次测量结果（时间近似到0.1小时），结果如下表所示：日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日6月21日8月13日9月20日10月25日12月21日日期位置序号15980117126172225263298355存活时间小时5.610.212.416.417.319.416.412.48.55.4（1）试选用一个形如的函数来近似描述一年（按365天计）中该细菌一天内存活的时间与日期位置序号之间的函数解析式．（2）用（1）中的结果估计该种细菌一年中大约有多少天的存活时间大于15.9小时．【答案】（1）；（2）有121天（或122天）.【解析】（1）细菌存活时间与日期位置序号之间的函数解析式满足，由已知表可知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，∴，故．又，故．
又，∴．当时，，∴，∴．（2）由得，∴，可得．∴这种细菌一年中大约有121天（或122天）的存活时间大于15.9小时．7．（2020·辽宁辽阳·高一期中）为了迎接旅游旺季的到来，辽阳汤河风景区内供游客住宿的某宾馆，工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，现每年各个月份来宾馆入住的游客人数会呈现周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住宾馆的游客人数基本相同；②入住宾馆的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；③2月份入住宾馆的游客约为100人，随后逐月增加直到8月份达到最多．（1）若一年中入住宾馆的游客人数与月份之间的关系为，且．试求出函数的解析式；（2）请问哪几个月份要准备不少于400份的食物？【答案】（1），且；（2）在6月、7月、8月、9月、10月5个月份要准备不少于400份的食物.【解析】（1）因为，且根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，最小，最大，且；由③可知，函数在上单调递增，
且，所以．根据上述分析可得，，故，且，解得根据分析可知，当时，取最小值，当时，取最大值．故，且，，又因为，故，所以入住宾馆的游客人数与月份之间的关系式为：，且.（2）令，化简得，即，解得．因为，且，所以，即在6月、7月、8月、9月、10月5个月份要准备不少于400份的食物．8．（2020·大连海湾高级中学高一月考）如表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系．时刻水深5.07.05.03.05.07.05.03.05.0若该港口的水深和时刻的关系可用函数（其中）来近似描述，则该港口在11:00的水深为________m．
【答案】4【解析】由题意得函数（其中，，的周期为，，解得，，，，该港口在的水深为．故答案为：4．【题组二圆周运动】1．（2020·山东潍坊·高一期末）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（）A．B．当时，函数单调递增C．当时，点到轴的距离的最大值为D．当时，【答案】AD【解析】由题意，R＝＝6，T＝120＝，∴ω＝，当t＝0时，y＝f(t)＝，代入可得＝6sinφ，∵，∴φ＝－.故A正确；
所以，当时，，所以函数在不是单调递增的，故B不正确；因为，，所以点P到x轴的距离的最大值为6，故C不正确；当时，，此时，点，，故D正确，故选：AD．2．（2020·湖南雨花·雅礼中学高三其他（文））达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：（其中）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意，设．则．，．设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为．则，．故选：A．3．（2020·全国高一课时练习）如图,游乐场中的摩天轮匀速转动,每转动一圈需要分钟,其中心距离地面米,半径为米,如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时,请回答下列问题:
(1)求出你与地面的距离(米)与时间(分钟)的函数解析式.(2)当你第次距离地面米时,用了多长时间?【答案】（1）（2）分钟.【解析】(1)由已知可设,由周期为分钟可知,当时,摩天轮第次到达最高点,即此函数第次取得最大值,,即.所求的函数关系式为.(2)设转第圈时,第分钟时距地面米,由,得,或,解得或,时,第次距地面米,故第次距离地面米时,用了(分钟).4．（2020·开封市第二十五中学高一期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．
（1）经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足（其中，，）求摩天轮转动一周的解析式；（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值．【答案】（1），；（2）；（3）h取最大值为62米.【解析】（1）由题意，（其中，，）摩天轮的最高点距离地面为145米，最低点距离地面为米，，得，，又函数周期为30分钟，所以，又，所以，．所以，．（2），所以，，所以（分钟）．
（3）经过t分钟后甲距离地面的高度为，乙与甲间隔的时间为分钟，所以乙距离地面的高度为，，所以两人离地面的高度差，当或时，即或25分钟时，h取最大值为62米.
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