2.2基本不等式【题组一公式直接运用】1．（2020·全国高一课时练习）已知，求的最大值.【答案】【解析】，则，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，当时，求的最大值为.2．（2020·广西兴宁.高一期末）已知，，，且，，则的最小值是（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】由知，，，，当且仅当时取等号.故的最小值为4故选：B4．（2020·浙江省平阳中学高三一模）若，则的最小值为________.【答案】【解析】由题意，，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值．5．（2020·全国高一课时练习）（1）已知，求的最小值；（2）已知，求的最大值.
【答案】（1）；（2）.【解析】（1），，当且仅当时取等号；所以的最小值为；（2），，当且仅当时取等号，所以的最大值为.5．（2020·全国高三课时练习（理））设，则的最小值为______.【答案】【解析】，当且仅当，即时成立，故所求的最小值为．【题组二条件型】1．（2019·云南弥勒市一中高一期末）若，且，则的最小值为( )A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】因为，所以.因为，所以，.
所以，当且仅当，即时等号成立.所以，即的最小值为.2．（2020·上海高一开学考试）正实数满足：，则的最小值为_____.【答案】9【解析】，当且仅当时取等号．故答案为：9．3．（2020·全国高一）已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数m的最小值是 A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】不等式对任意的正实数x，y恒成立，则对任意的正实数x，y恒成立，又，，解得或不合题意，舍去，，即正实数m的最小值是4．故选：B．4．（2020·全国高三课时练习（理））已知，且，则的最小值为_________．【答案】4【解析】，,，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.故答案为：5．（2020·甘肃城关.高三二模（文））设m，n为正数，且，则的最小值为__________.【答案】【解析】令，则，且，，又，而，当且仅当时等号成立，故的最小值为.故答案为：.【题组三配凑型】1．（2019·湖南高新技术产业园区衡阳市一中高二开学考试）已知x≥，则f（x）＝有（）A．最小值1B．最大值C．最小值D．最大值1【答案】A【解析】，当且仅当即时等号成立2．（2020·天津和平.高三三模（理））已知，，且，则最小值为__________．【答案】
【解析】，结合可知原式，且，当且仅当时等号成立.即最小值为.3．（2020·上海高一开学考试）函数的值域为__________．【答案】【解析】设，当时，，当且仅当时等号成立；同理当时，，当且仅当时等号成立；所以函数的值域为.故答案为:.4（2019·江苏东海.高二期中）函数的最小值为______.【答案】5
【解析】.，，（当且仅当，即时取等号），.故答案为：.【题组四换元法】1．（2020·荆州市北门中学高一期末）若实数满足，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由实数满足，，设，解得，则，当且仅当，及时等号成立，所以的最大值为，故选D.2．（2020·浙江高三月考）已知、为正实数，满足，则的最小值为______.【答案】【解析】由可得出，由于、为正实数，则，可得，，当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，的最小值为.故答案为：.3．（2019·浙江衢州.高二期中）若正实数，满足，则的最小值为______.【答案】【解析】由可得当且仅当时，等号成立.则的最小值为故答案为：【题组五求参数】1．（2019·山东济宁.高一月考）设恒成立，则实数的最大值为（）A．2B．4C．8D．16【答案】B【解析】由于，当且仅当时等号成立，而恒成立，故，也即的最大值为.故选B.2．（2020·全国高一）已知，若不等式恒成立，则的最大值为（）A．9B．12C．16D．20【答案】A【解析】因为，所以，，
（当且仅当时，取等号），要想不等式恒成立，只需，即的最大值为，故本题选A.3（2020·黑龙江建华.高一期中）若两个正实数满足,且恒成立，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】由基本不等式得，当且仅当，由于，，即当时，等号成立，所以，的最小值为，由题意可得，即，解得，因此，实数的取值范围是，故选D.4．（2020·全国高三课时练习（理））已知关于x的不等式在上恒成立，则实数a的最小值为（）A．1B．C．2D．【答案】D【解析】设，，在上恒成立，需，，当且仅当，即时等号成立，.故选：D.5．（2020·全国高三课时练习（理））设、、都是正实数，且、满足，则使
恒成立的的范围是（）A．(0，8]B．(0，10]C．(0，12]D．(0，16]【答案】D【解析】∵、为正实数，，∴，当且仅当，即时等号成立，∴，要使恒成立，∵为正实数，∴.故选：D.【题组六实际应用题】1．（2020·全国高一课时练习）（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最短篱笆的长度为；（2）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最大面积是.【解析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为.（1）由已知得，由，可得，所以，当且仅当时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为；（2）由已知得，则，矩形菜园的面积为.由，可得，当且仅当时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是.
2．（2019·南昌.江西师大附中高一期中）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．(1)将该厂家2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；(2)该厂家2019年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？【答案】（1）；（2）2019年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大【解析】（1）由题意有，得故∴（2）由（1）知：当且仅当即时，有最大值.答:2019年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大.3．（2020·淄博市临淄中学高二期末（文））某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为6400立方米，深度为4米．池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造价为100元．设池底长方形的长为x米．（Ⅰ）求底面积，并用含x的表达式表示池壁面积；（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）池底设计为边长米的正方形时，总造价最低，其值为元.【解析】（Ⅰ）设水池的底面积为S1，池壁面积为S2，
则有(平方米)．池底长方形宽为米，则S2＝8x＋8×＝8(x＋)．（Ⅱ）设总造价为y，则y＝120×1600＋100×8≥192000＋64000＝256000．当且仅当x＝，即x＝40时取等号．所以x＝40时，总造价最低为256000元．答：当池底设计为边长40米的正方形时，总造价最低，其值为256000元．4．（2020·全国高一课时练习）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？【答案】矩形的长、宽都为时，所用篱笆最短，最短篱笆为.【解析】设矩形菜园的长为，宽为，则，篱笆的长为.由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，因此，这个矩形的长、宽都为时，所用篱笆最短，最短篱笆为.5．（2020·山东济宁.高一月考）经观测，某公路段在某时段内的车流量(千辆/小时)与汽车的平均速度(千米/小时)之间有函数关系：．(1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.01)(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？【答案】（1）平均速度时，最大为；（2）平均速度应控制在到范围内.【解析】（1），，当且仅当，即时，等号成立，平均速度时，最大，最大为．
（2）由，，．，平均速度应控制在到范围内．
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