人教版高中数学必修第一册：2.2《第1课时 基本不等式的证明》同步精选练习（含答案详解）

2.2第1课时基本不等式的证明基础练巩固新知夯实基础1．已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是(  )A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2C.＋>D.＋≥22．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(  )A．a＝±1B．a＝1C．a＝－1D．a＝03．对x∈R且x≠0都成立的不等式是(  )A．x＋≥2B．x＋≤－2C.≥D.≥24．已知x>0，y>0，x≠y，则下列四个式子中值最小的是(  )A.B.C.D.5．给出下列不等式：①x＋≥2；②≥2；③≥2；④>xy；⑤≥.其中正确的是________(写出序号即可)．6．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(填序号)．①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤＋≥2.7．设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c. 能力练综合应用核心素养8．若00，则，，，中最小的是(  )A.B.C.D.10．设a>0，b>0，则下列不等式中不一定成立的是(  )A．a＋b＋≥2B.≥C.≥a＋bD．(a＋b)≥411．已知a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，则下列各式恒成立的是(  )A.≥8B.＋≥4C.≥D.≤12．若a＜1，则a＋与－1的大小关系是________．13．给出下列结论：①若a>0，则a2＋1>a.①若a>0，b>0，则≥4.③若a>0，b>0，则(a＋b)≥4.④若a∈R且a≠0，则＋a≥6.其中恒成立的是________． 14．已知x＞0，y＞0，z＞0.求证：≥8.15．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证≥9. 【参考答案】1.D解析：选D.对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以>0，>0，所以＋≥2，即＋≥2成立．2.B[解析] a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，∴a＝1时，等号成立．3.D[解析] 因为x∈R且x≠0，所以当x>0时，x＋≥2；当x0，所以x＋＝－≤－2，所以A、B都错误；又因为x2＋1≥2|x|，所以≤，所以C错误，故选D.4.C[解析] 解法一：∵x＋y>2，∴＝，∴排除B；∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy，排除A.解法二：取x＝1，y＝2.则＝；＝；＝；＝＝.其中最小．5.②解析：当x>0时，x＋≥2；当x0，所以≤＝，当且仅当a＝b时取等号，所以≥不一定成立，故B不成立．因为≤＝，当且仅当a＝b时取等号，所以＝＝a＋b－≥2－，当且仅当a＝b时取等号，所以≥，所以≥a＋b，故C一定成立．因为(a＋b)＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b时取等号，故D一定成立，故选B.11.B[解析] ∵当a，b∈(0，＋∞)时，a＋b≥2，又a＋b＝1，∴2≤1，即≤.∴ab≤.∴≥4.故选项A不正确，选项C也不正确．对于选项D，∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab，当a，b∈(0，＋∞)时，由ab≤可得a2＋b2＝1－2ab≥.所以≤2，故选项D不正确．对于选项B，∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝1＋＋＋1≥4，当且仅当a＝b时，等号成立．故选B.12.a＋≤－1解析:因为a＜1，即1－a>0,所以－＝(1－a)＋≥2＝2.即a＋≤－1.13.①②③[解析] 因为(a2＋1)－a＝2＋>0，所以a2＋1>a，故①恒成立．因为a>0，所以a＋≥2，因为b>0，所以b＋≥2，所以当a>0，b>0时， ≥4，故②恒成立．因为(a＋b)＝2＋＋，又因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2，所以(a＋b)≥4，故③恒成立．因为a∈R且a≠0，不符合基本不等式的条件，故＋a≥6是错误的． 14.证明：因为x＞0，y＞0，z＞0，所以＋≥＞0，＋≥＞0，＋≥＞0，所以≥＝8，当且仅当x＝y＝z时等号成立．15.[证明] 证法一：因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以1＋＝1＋＝2＋，同理1＋＝2＋，故＝＝5＋2≥5＋4＝9.所以≥9(当且仅当a＝b＝时取等号)．证法二：因为a，b为正数，a＋b＝1.所以＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋，ab≤2＝，于是≥4，≥8，因此≥1＋8＝9.