第2课时 指数幂及运算学习目标核心素养1.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、难点)2．掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(重点)1.通过分数指数幂、运算性质的推导，培养逻辑推理素养．2．借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养.1．分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)负分数指数幂规定：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义思考：在分数指数幂与根式的互化公式a＝中，为什么必须规定a>0?提示：①若a＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即＝a＝0，无研究价值．②若a0.2．有理数指数幂的运算性质(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．3．无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．7
有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．1．下列运算结果中，正确的是( )A．a2a3＝a5 B．(－a2)3＝(－a3)2C．(－1)0＝1D．(－a2)3＝a6A [a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；(－1)0＝1，若成立，需要满足a≠1，故选A.]2．4等于( )A．25 B. C. D.B [4＝＝，故选B.]3．已知a>0，则a等于( )A. B.C. D．－B [a＝＝.]4．(m)4＋(－1)0＝________.m2＋1 [(m)4＋(－1)0＝m2＋1.]根式与分数指数幂的互化【例1】 将下列根式化成分数指数幂的形式：(1)(a>0)；(2)；7
(3)(b>0)．[解] (1)原式＝＝＝＝a.(2)原式＝＝＝＝＝＝x.(3)原式＝＝b＝b.根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．1．将下列根式与分数指数幂进行互化：(1)a3·；(2)(a>0，b>0)．[解] (1)a3·＝a3·a＝a＝a.(2)＝＝＝＝ab.利用分数指数幂的运算性质化简求解【例2】 化简求值：7
指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.2．(1)计算：0＋2－2×－(0.01)0.5；(2)化简：÷÷(a>0)．指数幂运算中的条件求值[探究问题]7
1.2和2存在怎样的等量关系？提示：2＝2＋4.2．已知＋的值，如何求a＋的值？反之呢？提示：设＋＝m，则两边平方得a＋＝m2－2；反之若设a＋＝n，则n＝m2－2，∴m＝.即＋＝.【例3】 已知a＋a＝4，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.[思路点拨] [解] (1)将a＋a＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.1．在本例条件不变的条件下，求a－a－1的值．[解] 令a－a－1＝t，则两边平方得a2＋a－2＝t2＋2，∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8，即a－a－1＝±8.2．在本例条件不变的条件下，求a2－a－2的值．[解] 由上题可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±8×14＝±112.解决条件求值的思路(1)在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值.(2)在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用.7
1．对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律．2．解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化求解的“利器”．1．思考辨析(1)0的任何指数幂都等于0.( )(2)5＝.( )(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如＝a.( )(4)a可以理解为个a.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．把根式a化成分数指数幂是( )A．(－a) B．－(－a)C．－aD．aD [由题意可知a≥0，故排除A、B、C选项，选D.]3．已知x＋x＝5，则的值为( )A．5B．23C．25D．27B [∵x＋x＝5，∴x＋x－1＝23，即＝23.]7
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