5.1.2 弧度制学习目标核心素养1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系．2．理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．(重点、难点)3．了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．(易错点)1.通过对弧度制概念的学习，培养学生的数学抽象素养．2．借助弧度制与角度制的换算，提升学生的数学运算素养.1．度量角的两种单位制(1)角度制：①定义：用度作为单位来度量角的单位制．②1度的角：周角的.(2)弧度制：①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．2．弧度数的计算思考：比值与所取的圆的半径大小是否有关？10
提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．3．角度制与弧度制的换算4．一些特殊角与弧度数的对应关系度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0π2π5.扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l＝αR.(2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2.1．下列转化结果错误的是( )A．60°化成弧度是radB．－πrad化成度是－600°C．－150°化成弧度是－πradD.rad化成度是15°C [对于A,60°＝60×rad＝rad；对于B，－πrad＝－×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×rad＝－πrad；对于D，rad＝×180°＝15°.故选C.]10
2.是( )A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角B [＝4π＋.∵π是第二象限角，∴是第二象限角．]3．(1)rad化为角度是________．(2)105°的弧度数是________．(1)252° (2) [(1)rad＝°＝252°；(2)105°＝105×rad＝rad.]4．半径为2，圆心角为的扇形的面积是________． [由已知得S扇＝××22＝.]角度与弧度的互化与应用【例1】 (1)①将112°30′化为弧度为________．②将－rad化为角度为________．(2)已知α＝15°，β＝rad，γ＝1rad，θ＝105°，φ＝rad，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．(1)①rad ②－75° [(1)①因为1°＝rad，所以112°30′＝×112.5rad＝rad.10
②因为1rad＝°，所以－rad＝－°＝－75°.](2)法一(化为弧度)：α＝15°＝15×rad＝rad，θ＝105°＝105×rad＝rad.显然＜＜1＜.故α＜β＜γ＜θ＝φ.法二(化为角度)：β＝rad＝×°＝18°，γ＝1rad≈57.30°，φ＝×°＝105°.显然，15°＜18°＜57.30°＜105°.故α＜β＜γ＜θ＝φ.角度制与弧度制互化的关键与方法(1)关键：抓住互化公式πrad＝180°是关键；(2)方法：度数×＝弧度数；弧度数×＝度数；(3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.1．(1)将－157°30′化成弧度为________．(2)将－rad化为度是________．(1)－πrad (2)－396° [(1)－157°30′＝－157.5°＝－×rad＝－πrad.(2)－rad＝－×°＝－396°.]2．在[0,4π]中，与72°角终边相同的角有________．(用弧度表示)10
π，π [因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．当k＝0时，θ＝72°＝πrad；当k＝1时，θ＝432°＝πrad，所以在[0,4π]中与72°终边相同的角有π，π.]用弧度数表示角【例2】 (1)终边经过点(a，a)(a≠0)的角α的集合是( )A.B.C.D.(2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．[思路点拨] (1)→(2)→(1)D [因为角α的终边经过点(a，a)(a≠0)，所以角α的终边落在直线y＝x上，所以角α的集合是.](2)[解] 因为30°＝rad,210°＝rad，10
这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，而终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z，从而终边落在阴影部分内的角的集合为.1．弧度制下与角α终边相同的角的表示：在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤：(1)仔细观察图形．(2)写出区域边界作为终边时角的表示．(3)用不等式表示区域范围内的角．提醒：角度制与弧度制不能混用.3．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋(k∈Z)C [A，B中弧度与角度混用，不正确．π＝2π＋，所以π与终边相同．－315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°终边相同．故选C.]4．用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合．10
[解] 30°＝rad,150°＝rad.终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是.弧长公式与扇形面积公式的应用[探究问题]1．用公式|α|＝求圆心角时，应注意什么问题？提示：应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负．2．在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？提示：若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果易出错．【例3】 (1)如图所示，以正方形ABCD中的点A为圆心，边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD的弧度数大小为________．(2)已知扇形OAB的周长是60cm，面积是20cm2，求扇形OAB的圆心角的弧度数．[思路点拨] (1)先根据两块阴影部分的面积相等列方程再解方程求∠EAD的弧度数．(2)先根据题意，列关于弧长和半径的方程组，再解方程组求弧长和半径，最后用弧度数公式求圆心角的弧度数．10
(1)2－ [设AB＝1，∠EAD＝α，∵S扇形ADE＝S阴影BCD，由题意可得×12×α＝12－，∴解得α＝2－.](2)设扇形的弧长为l，半径为r，则∴或∴扇形的圆心角的弧度数为＝43－3或43＋3.1．(变条件)将本例(2)中的条件“60”改为“10”，“20”改为“4”，其他条件不变，求扇形圆心角的弧度数．[解] 设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l，半径为r，依题意有由①得l＝10－2r，代入②得r2－5r＋4＝0，解得r1＝1，r2＝4.当r＝1时，l＝8(cm)，此时，θ＝8rad＞2πrad舍去．当r＝4时，l＝2(cm)，此时，θ＝＝rad.2．(变结论)将本例(2)中的条件“面积是20cm2”删掉，求扇形OAB的最大面积及此时弧长AB.[解] 设弧长为l，半径为r，由已知l＋2r＝60，所以l＝60－2r，|α|＝＝，从而S＝|α|r2＝··r2＝－r2＋30r＝－(r－15)2＋225，当r＝15时，S取最大值为225，这时圆心角α＝＝＝2rad，10
可得弧长AB＝αr＝2×15＝30(cm)．弧度制下解决扇形相关问题的步骤：(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝αr2和S＝lr.(这里α必须是弧度制下的角)(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式．(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．提醒：看清角的度量制，恰当选用公式．1．在表示角的时候，由于弧度制的优点，常常使用弧度表示角，但也要注意，用弧度制表示角时，不能与角度制混用．2．弧度制下弧长和扇形面积公式的应用，要注意使用的前提条件是弧度制下．同时也应注意与其他知识如函数内容的结合．1．思考辨析( )(1)1弧度的角是周角的.(2)1弧度的角大于1度的角．[提示] (1)错误，1弧度的角是周角的.(2)正确．[答案] (1)× (2)√2．圆的半径为r，该圆上长为r的弧所对的圆心角是( )A.rad B.radC.radD.radB [由弧度数公式α＝，得α＝＝，因此圆弧所对的圆心角是rad.]10
3．若把－570°写成2kπ＋α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式，则α＝________. [－570°＝－＝－4π＋.]4．求半径为πcm，圆心角为120°的扇形的弧长及面积．[解] 因为r＝π，α＝120×＝，所以l＝αr＝cm，S＝lr＝cm2.10
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