5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第1课时 周期性与奇偶性学习目标核心素养1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的周期.(重点)3.掌握函数y=sinx,y=cosx的奇偶性,会判断简单三角函数的奇偶性.(重点、易混点)1.通过周期性的研究,培养逻辑推理素养.2.借助奇偶性及图象的关系,提升直观想象素养.1.函数的周期性(1)周期函数:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么这个函数的周期为T.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y=sinxy=cosx周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期2π2π奇偶性奇函数偶函数1.函数y=2sin是( )8
A.周期为π的奇函数B.周期为π的偶函数C.周期为2π的奇函数D.周期为2π的偶函数B [y=2sin=2cos2x,它是周期为π的偶函数.]2.函数f(x)=sin2x的奇偶性为( )A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数A [f(x)=sin2x的定义域为R,f(-x)=sin2(-x)=-sin2x=-f(x),所以f(x)是奇函数.]3.函数f(x)=sin,x∈R的最小正周期为________.4 [由已知得f(x)的最小正周期T==4.]4.若函数y=f(x)是以2为周期的函数,且f(5)=6,则f(1)=________.6 [由已知得f(x+2)=f(x),所以f(1)=f(3)=f(5)=6.]三角函数的周期问题及简单应用【例1】 求下列函数的周期:(1)y=sin;(2)y=|sinx|.[思路点拨] (1)法一:寻找非零常数T,使f(x+T)=f(x)恒成立.法二:利用y=Asin(ωx+φ)的周期公式计算.(2)作函数图象,观察出周期.[解] (1)法一:(定义法)y=sin8
=sin=sin,所以周期为π.法二:(公式法)y=sin中ω=2,T===π.(2)作图如下:观察图象可知周期为π.求三角函数周期的方法:(1)定义法:即利用周期函数的定义求解.(2)公式法:对形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A≠0,ω≠0)的函数,T=.(3)图象法:即通过观察函数图象求其周期.提醒:y=|Asin(ωx+φ)|(A≠0,ω≠0)的最小正周期T=.1.利用周期函数的定义求下列函数的周期.(1)y=cos2x,x∈R;(2)y=sin,x∈R.[解] (1)因为cos2(x+π)=cos(2x+2π)=cos2x,由周期函数的定义知,y=cos2x的周期为π.(2)因为sin=sin=sin,由周期函数的定义知,y=sin的周期为6π.三角函数奇偶性的判断8
【例2】 判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=sin;(2)f(x)=lg(1-sinx)-lg(1+sinx);(3)f(x)=.[思路点拨] [解] (1)显然x∈R,f(x)=cosx,∵f(-x)=cos=cosx=f(x),∴f(x)是偶函数.(2)由得-1<sinx<1,解得定义域为,∴f(x)的定义域关于原点对称.又∵f(x)=lg(1-sinx)-lg(1+sinx),∴f(-x)=lg[1-sin(-x)]-lg[1+sin(-x)]=lg(1+sinx)-lg(1-sinx)=-f(x),∴f(x)为奇函数.(3)∵1+sinx≠0,∴sinx≠-1,∴x∈R且x≠2kπ-,k∈Z.∵定义域不关于原点对称,∴该函数是非奇非偶函数.8
1.判断函数奇偶性应把握好的两个方面:一看函数的定义域是否关于原点对称;二看f(x)与f(-x)的关系.2.对于三角函数奇偶性的判断,有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.提醒:研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则.2.判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=cos+x2sinx;(2)f(x)=+.[解] (1)f(x)=sin2x+x2sinx,又∵x∈R,f(-x)=sin(-2x)+(-x)2sin(-x)=-sin2x-x2sinx=-f(x),∴f(x)是奇函数.(2)由得cosx=,∴f(x)=0,x=2kπ±,k∈Z,∴f(x)既是奇函数又是偶函数.三角函数的奇偶性与周期性的综合应用[探究问题]1.试举例说明哪些三角函数具有奇偶性?提示:奇函数有y=2sinx,y=sin2x,y=5sin2x,y=sinxcosx等.偶函数有y=cos2x+1,y=3cos5x,y=sinx·sin2x等.2.若函数y=f(x)是周期T=2的周期函数,也是奇函数,则f(2018)的值是多少?提示:f(2018)=f(0+1009×2)=f(0)=0.【例3】 (1)下列函数中是奇函数,且最小正周期是π的函数是( )A.y=cos|2x| B.y=|sin2x|8
C.y=sinD.y=cos(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数,又是周期函数,若f(x)的最小正周期为π,且当x∈时,f(x)=sinx,则f等于( )A.- B.C.- D.[思路点拨] (1)先作出选项A,B中函数的图象,化简选项C、D中函数的解析式,再判断奇偶性、周期性.(2)先依据f(x+π)=f(x)化简f;再依据f(x)是偶函数和x∈,f(x)=sinx求值.(1)D (2)D [(1)y=cos|2x|是偶函数,y=|sin2x|是偶函数,y=sin=cos2x是偶函数,y=cos=-sin2x是奇函数,根据公式得其最小正周期T=π.(2)f=f=f=f=f=f=sin=.]1.若本例(2)中的“偶函数”改为“奇函数”,“π”改为“”,其他条件不变,结果如何?[解] f=f=f=-f=-sin=-.2.若本例(2)中的周期“π”改为“”,其他条件不变,求f.8
[解] ∵f(x)的周期为,且为偶函数,∴f=f=f=f=.1.三角函数周期性与奇偶性的解题策略探求三角函数的周期,常用方法是公式法,即将函数化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式,再利用公式求解.2.与三角函数奇偶性有关的结论(1)要使y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)为奇函数,则φ=kπ(k∈Z);(2)要使y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)为偶函数,则φ=kπ+(k∈Z);(3)要使y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)为奇函数,则φ=kπ+(k∈Z);(4)要使y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)为偶函数,则φ=kπ(k∈Z).1.“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式,即对定义域内的每一个值都成立,T是非零常数,周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值,周期函数的图象每隔一个周期重复一次.2.周期函数定义中的“f(x+T)=f(x)”是对定义域中的每一个x值来说的,只有个别的x值满足f(x+T)=f(x),不能说T是y=f(x)的周期.3.在数轴上,定义域关于原点对称,是函数具有奇偶性的一个必要条件.因此,确定函数的奇偶性,先要考查其定义域是否关于原点对称.若是,再判断f(-x)与f(x)的关系;若不是,则该函数既不是奇函数,也不是偶函数.1.思考辨析(1)若sin=sin,则是函数y=sinx的一个周期.( )(2)所有的周期函数都有最小正周期.( )(3)函数y=是奇函数.( )8
[提示] (1)×.因为对任意x,sin与sinx并不一定相等.(2)×.不是所有的函数都有最小正周期,如函数f(x)=5是周期函数,就不存在最小正周期.(3)×.函数y=的定义域为{x|2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z},不关于原点对称,故非奇非偶.[答案] (1)× (2)× (3)×2.如图所示的是定义在R上的四个函数的图象,其中不是周期函数的图象的是( )D [观察图象易知,只有D选项中的图象不是周期函数的图象.]3.若函数y=f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数且f(1)=3,则f(5)=________.-3 [由已知得f(x+3)=f(x),f(-x)=-f(x),所以f(5)=f(2)=f(-1)=-f(1)=-3.]4.判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=-2cos3x;(2)f(x)=xsin(x+π).[解] (1)f(-x)=-2cos3(-x)=-2cos3x=f(x),x∈R,所以f(x)=-2cos3x为偶函数.(2)f(x)=xsin(x+π)=-xsinx,x∈R,所以f(-x)=xsin(-x)=-xsinx=f(x),故函数f(x)为偶函数.8