2021年人教版高中数学必修第一册随堂练习：第5章《5.5.1第1课时两角差的余弦公式》(含答案详解)

5.5 三角恒等变换5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式第1课时 两角差的余弦公式学习目标核心素养1.了解两角差的余弦公式的推导过程．(重点)2．理解用向量法导出公式的主要步骤．(难点)3．熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．(重点、易混点)1.通过两角差的余弦公式的推导，培养数学运算素养．2.借助公式的变形、正用、逆用，提升逻辑推理素养.两角差的余弦公式公式cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β适用条件公式中的角α，β都是任意角公式结构公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反1．sin14°cos16°＋sin76°cos74°＝(  )A. B.C．－D．－10 B [∵sin14°＝cos76°，cos74°＝sin16°，∴原式＝cos76°cos16°＋sin76°sin16°＝cos(76°－16°)＝cos60°＝.]2．cos(－15°)的值是(  )A.B.C.D.D [cos(－15°)＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝×＋×＝.]3．cos65°cos20°＋sin65°sin20°＝________. [cos65°cos20°＋sin65°sin20°＝cos(65°－20°)＝cos45°＝.]给角求值问题【例1】 (1)cos的值为(  )A.  B.C.D．－](2)求下列各式的值：①cos75°cos15°－sin75°sin195°；②sin46°cos14°＋sin44°cos76°；③cos15°＋sin15°.(1)D [cos＝cos＝－cos10 ＝－cos＝－coscos－sinsin＝－×－×＝－.](2)解：①cos75°cos15°－sin75°sin195°＝cos75°cos15°－sin75°sin(180°＋15°)＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝.②sin46°cos14°＋sin44°cos76°＝sin(90°－44°)cos14°＋sin44°cos(90°－14°)＝cos44°cos14°＋sin44°sin14°＝cos(44°－14°)＝cos30°＝.③cos15°＋sin15°＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝.1．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．2．两角差的余弦公式的结构特点：(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦．(2)把所得的积相加．1．化简下列各式：10 (1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；(2)－sin167°·sin223°＋sin257°·sin313°.[解] (1)原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)]＝cos45°＝.(2)原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)＝sin13°sin43°＋sin77°sin47°＝sin13°sin43°＋cos13°cos43°＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝.给值(式)求值问题[探究问题]1．若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cosα的值？提示：cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.2．利用α－(α－β)＝β可得cosβ等于什么？提示：cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)．【例2】 (1)已知sinα－sinβ＝1－，cosα－cosβ＝，则cos(α－β)＝(  )A．－   B．－C.   D.(2)已知sin＝，α∈，求cosα的值．[思路点拨] (1)先将已知两式平方，再将所得两式相加，结合平方关系和公式C(α－β)求cos(α－β)．(2)由已知角＋α与所求角α的关系即α＝－寻找解题思路．(1)D [因为sinα－sinβ＝1－，10 所以sin2α－2sinαsinβ＋sin2β＝2， ①因为cosα－cosβ＝，所以cos2α－2cosαcosβ＋cos2β＝2， ②①，②两式相加得1－2cos(α－β)＋1＝1－＋＋所以－2cos(α－β)＝－所以cos(α－β)＝.(2)[解] ∵α∈，∴＋α∈，∴cos＝－＝－＝－.∵α＝－，cosα＝cos＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝.]1．将例2(2)的条件改为“sin＝，且