集合的并、交、补运算【例1】 已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合A＝{x∈N|1＜x≤4}，B＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}．(1)用列举法表示集合A与B；(2)求A∩B及∁U(A∪B)．[解] (1)由题知，A＝{2,3,4}，B＝{x∈R|(x－1)(x－2)＝0}＝{1,2}．(2)由题知，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3,4}，所以∁U(A∪B)＝{0,5,6}．集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.这也是高考对集合部分的主要考查点.有些题目比较简单，直接根据集合运算的定义可得.有些题目与解不等式或方程相结合，需要先正确求解不等式，再进行集合运算.还有的集合问题比较抽象，解题时需借助Venn图进行数形分析或利用数轴等，采用数形结合思想方法，可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解.1．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝( )A．{1,3,4} B．{3,4}5
C．{3}D．{4}D [∵A＝{1,2}，B＝{2,3}，∴A∪B＝{1,2,3}，∴∁U(A∪B)＝{4}．]集合关系和运算中的参数问题【例2】 已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．(1)若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围；(2)是否存在a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅？[解] (1)A＝{x|0≤x≤2}，∴∁RA＝{x|x2}．∵(∁RA)∪B＝R，∴∴－1≤a≤0.(2)由(1)知(∁RA)∪B＝R时，－1≤a≤0，而2≤a＋3≤3，∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾．即这样的a不存在．根据集合间关系求参数范围时，要深刻理解子集的概念，把形如A⊆B的问题转化为AB或A＝B，进而列出不等式组，使问题得以解决.在建立不等式过程中，可借助数轴以形促数，化抽象为具体.要注意作图准确，分类全面.2．已知集合A＝{x|－3≤x＜2}，B＝{x|2k－1≤x≤2k＋1}，且B⊆A，求实数k的取值范围.[解] 由于B⊆A，在数轴上表示A，B，如图，可得解得5
所以k的取值范围是.充分条件与必要条件【例3】 已知a≥，y＝－a2x2＋ax＋c，其中a，c均为实数．证明：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1成立的充要条件是c≤.[解] 因为a≥，所以函数y＝－a2x2＋ax＋c的图象的对称轴方程为x＝＝，且0＜≤1，当x＝时，y＝＋c.先证必要性：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1，即＋c≤1，所以c≤.再证充分性：因为c≤，当x＝时，y的最大值为＋c≤＋＝1，所以对于任意x∈{x|0≤x≤1}，y＝－a2x2＋ax＋c≤1，即y≤1.即充分性成立．利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解.3．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实数a的值为________．－或 [p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3.5
q：ax＋1＝0，当a＝0时，方程无解；当a≠0时，x＝－.由题意知pq，q⇒p，故a＝0舍去；当a≠0时，应有－＝2或－＝－3，解得a＝－或a＝.综上可知，a＝－或a＝.]全称量词与存在量词【例4】 (1)下列语句不是全称量词命题的是( )A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高一(一)班绝大多数同学是团员D．每一个实数都有大小(2)命题p：“∀x∈R，x2＞0”，则( )A．p是假命题；﹁p：∃x∈R，x2＜0B．p是假命题；￢p：∃x∈R，x2≤0C．p是真命题；￢p：∀x∈R，x2＜0D．p是真命题；￢p：∀x∈R，x2≤0(1)C (2)B [(1)A中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A是全称量词命题；B中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题；C中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C不是全称量词命题；D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D是全称量词命题．故选C.(2)由于02＞0不成立，故“∀x∈R，x2＞0”为假命题，根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知，“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”，故选B.]“一般命题的否定”与“含有一个量词的命题的否定”的区别与联系5
(1)一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p(x)的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词.(2)与一般命题的否定相同，含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定.4．下列命题不是存在量词命题的是( )A．有些实数没有平方根B．能被5整除的数也能被2整除C．在实数范围内，有些一元二次方程无解D．有一个m使2－m与|m|－3异号B [选项A、C、D中都含有存在量词，故皆为存在量词命题，选项B中不含存在量词，不是存在量词命题．]5．命题“能被7整除的数是奇数”的否定是________．存在一个能被7整除的数不是奇数 [原命题即为“所有能被7整除的数都是奇数”，是全称量词命题，故该命题的否定是：“存在一个能被7整除的数不是奇数”．]5
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