2021年人教版高中数学必修第一册随堂练习：第5章《5.3第2课时公式五和公式六》(含答案详解)

第2课时 公式五和公式六学习目标核心素养1.了解公式五和公式六的推导方法．2．能够准确记忆公式五和公式六．(重点、易混点)3．灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．(难点)1.借助诱导公式求值，培养数学运算素养．2．通过诱导公式进行化简和证明，提示逻辑推理素养.1．公式五(1)角－α与角α的终边关于直线y＝x对称，如图所示．(2)公式：sin＝cos_α，cos＝sin_α.2．公式六(1)公式五与公式六中角的联系＋α＝π－.(2)公式：sin＝cos_α，cos＝－sin_α.思考：如何由公式四及公式五推导公式六？提示：sin＝sin＝sin＝cosα.9 cos＝cos＝－cos＝－sinα.1．下列与sinθ的值相等的是(  )A．sin(π＋θ)    B．sinC．cosD．cosC [sin(π＋θ)＝－sinθ；sin＝cosθ；cos＝sinθ；cos＝－sinθ.]2．已知sin19°55′＝m，则cos(－70°5′)＝________.m [cos(－70°5′)＝cos70°5′＝cos(90°－19°55′)＝sin19°55′＝m.]3．计算：sin211°＋sin279°＝________.1 [因为11°＋79°＝90°，所以sin79°＝cos11°，所以原式＝sin211°＋cos211°＝1.]4．化简sin＝________.－cosα [sin＝sin＝－sin＝－cosα.]利用诱导公式化简求值【例1】 (1)已知cos31°＝m，则sin239°tan149°的值是(  )A.  B.9 C．－D．－(2)已知sin＝，则cos的值为________．[思路点拨] (1)→(2)→(1)B (2) [(1)sin239°tan149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin59°(－tan31°)＝－sin(90°－31°)·(－tan31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝＝.(2)cos＝cos＝sin＝.]1．将例1(2)的条件中的“－α”改为“＋α”，求cos的值．[解] cos＝cos＝－sin＝－.2．将例1(2)增加条件“α是第二象限角”，求sin的值．[解] 因为α是第二象限角，所以－α是第三象限角，又sin＝，所以－α是第二象限角，所以cos＝－，9 所以sin＝sin＝－sin＝－cos＝.解决化简求值问题的策略：(1)首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.(2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化.提醒：常见的互余关系有：常见的互补关系有：利用诱导公式证明恒等式【例2】 (1)求证：＝.(2)求证：＝－tanθ.[证明] (1)右边＝＝＝＝＝＝＝左边，9 所以原等式成立．(2)左边＝＝＝－tanθ＝右边，所以原等式成立．三角恒等式的证明的策略(1)遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则.(2)常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法，“1”的代换法.1．求证：＝－1.[证明] 因为＝＝＝＝－1＝右边，所以原等式成立．诱导公式的综合应用[探究问题]9 1．公式一～四和公式五～六的主要区别是什么？提示：公式一～四中函数名称不变，公式五～六中函数名称改变．2．如何用一个口诀描述应用诱导公式化简三角函数式的过程？提示：“奇变偶不变、符号看象限”．【例3】 已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值．[思路点拨] →→→[解] 方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，因为－1≤sinα≤1，所以sinα＝－.又α是第三象限角，所以cosα＝－，tanα＝＝，所以·tan2(π－α)＝·tan2α＝·tan2α＝－tan2α＝－.诱导公式综合应用要“三看”一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系.9 二看函数名称：一般是弦切互化.三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形.2．已知sin·cos＝，且＜α＜，求sinα与cosα的值．[解] sin＝－cosα，cos＝cos＝－sinα，∴sinα·cosα＝，即2sinα·cosα＝.①又∵sin2α＋cos2α＝1，②①＋②得(sinα＋cosα)2＝，②－①得(sinα－cosα)2＝.又∵α∈，∴sinα＞cosα＞0，即sinα＋cosα＞0，sinα－cosα＞0，∴sinα＋cosα＝，③sinα－cosα＝，④(③＋④)÷2得sinα＝，(③－④)÷2得cosα＝.1．公式五反映了终边关于直线y＝x对称的角的正、余弦函数值之间的关系，9 其中角－α的正弦(余弦)函数值，等于角α的余弦(正弦)函数值．2．由于＋α＝π－，因此由公式四及公式五可以得到公式六．3．利用诱导公式可在三角函数的变形过程中进行角的转化．在求任意角的过程中，一般先把负角转化为正角，正角转化为0～2π的范围内的角，再将这个范围内的角转化为锐角．也就是“负化正，大化小，化到锐角再查表(特殊角的三角函数值表)”．1．思考辨析(1)公式五和公式六中的角α一定是锐角．(  )(2)在△ABC中，sin＝cos.(  )(3)sin＝sin＝cos(－α)＝cosα.(  )[提示] (1)错误．公式五和公式六中的角α可以是任意角．(2)正确．因为＋＝，由公式五可知sin＝cos.(3)正确．[答案] (1)× (2)√ (3)√2．若sin0，则θ是(  )A．第一象限角  B．第二象限角C．第三角限角D．第四象限角B [由于sin＝cosθ0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.]3．已知cosα＝，且α为第四象限角，那么cos＝________.9  [因为cosα＝，且α为第四象限角，所以sinα＝－＝－，所以cos＝－sinα＝.]4．化简：－.[解] 原式＝－＝sinα－(－sinα)＝2sinα.9