人教版高中数学必修第一册课时同步练习47《两角和与差的正切公式》(含答案详解)

课时同步练习(四十七) 两角和与差的正切公式(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知点P(1，a)在角α的终边上，tan＝－，则实数a的值是(  )A．2      B.C．－2D．－C [∵tan＝＝＝－，∴tanα＝－2，∵点P(1，a)在角α的终边上，∴tanα＝＝a，∴a＝－2.]2.的值等于(  )A．tan42°B．tan3°C．1D．tan24°A [∵tan60°＝，∴原式＝＝tan(60°－18°)＝tan42°.]3．若tan(180°－α)＝－，则tan(α＋405°)等于(  )A.B．7C．－D．－77 D [∵tan(180°－α)＝－tanα＝－，∴tanα＝，∴tan(α＋405°)＝tan(α＋45°)＝＝＝－7.]4．已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan等于(  )A.B.C.D.C [tan＝tan＝＝＝.]5．若tan28°tan32°＝m，则tan28°＋tan32°＝(  )A.mB.(1－m)C.(m－1)D.(m＋1)B [由公式变形tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)可得，tan28°＋tan32°＝tan60°(1－tan28°tan32°)＝(1－m)．]二、填空题6．已知tan＝，tan＝－，则tan＝________. [tan＝tan＝7 ＝＝.]7．在△ABC中，若tanA，tanB是方程6x2－5x＋1＝0的两根，则角C＝________. [由题意得tanA＋tanB＝，tanAtanB＝，∴tan(A＋B)＝＝＝1.又A＋B＋C＝π，∴tanC＝－tan(A＋B)＝－1，∴C＝.]8．化简：tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°的值等于________．1 [原式＝tan10°tan20°＋tan60°(tan20°＋tan10°)＝tan10°tan20°＋tan(20°＋10°)(1－tan20°tan10°)＝tan10°tan20°＋1－tan20°tan10°＝1.]三、解答题9．已知tan＝2，tanβ＝，(1)求tanα的值；(2)求的值．[解] (1)∵tan＝2，∴＝2，7 ∴＝2，解得tanα＝.(2)原式＝＝＝＝tan(β－α)＝＝＝.10．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．[解] 由条件得cosα＝，cosβ＝.∵α，β为锐角，∴sinα＝＝，sinβ＝＝.因此tanα＝＝7，tanβ＝＝.(1)tan(α＋β)＝7 ＝＝－3.(2)∵tan2β＝tan(β＋β)＝＝＝，∴tan(α＋2β)＝＝＝－1.∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜，∴α＋2β＝.[等级过关练]1．若2cosα－sinα＝0，则tan等于(  )A．－    B.    C．－3    D．3B [tan＝＝＝.]2．在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝3，tan2B＝tanA·tanC，则角B等于(  )A．30°B．45°C．120°D．60°D [由公式变形得：tanA＋tanB＝tan(A＋B)(1－tanAtanB)＝tan(180°－C)(1－tanAtanB)＝－tanC(1－tanAtanB)＝－tanC＋tanAtanBtanC，7 ∴tanA＋tanB＋tanC＝－tanC＋tanAtanBtanC＋tanC＝tanAtanBtanC＝3.∵tan2B＝tanAtanC，∴tan3B＝3，∴tanB＝，B＝60°.]3．已知＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________. [由条件知＝＝3，则tanα＝2.因为tan(α－β)＝2，所以tan(β－α)＝－2，故tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝＝＝.]4．已知tanα＝lg(10a)，tanβ＝lg，且α＋β＝，则实数a的值为________．或1 [∵α＋β＝，∴tan(α＋β)＝＝1，tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ，即lg(10a)＋lg＝1－lg(10a)lg，1＝1－lg(10a)lg，∴lg(10a)lg＝0，∴lg(10a)＝0或lg＝0，7 解得a＝或a＝1.]5．是否存在锐角α，β，使得(1)α＋2β＝，(2)tantanβ＝2－同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由．[解] 假设存在锐角α，β使得(1)α＋2β＝，(2)tantanβ＝2－同时成立．由(1)得＋β＝，所以tan＝＝.又tantanβ＝2－，所以tan＋tanβ＝3－，因此tan，tanβ可以看成是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根，解得x1＝1，x2＝2－.若tan＝1，则α＝，这与α为锐角矛盾，所以tan＝2－，tanβ＝1，所以α＝，β＝，所以满足条件的α，β存在，且α＝，β＝.7