人教版高中数学必修第一册课时同步练习48《二倍角的正弦、余弦、正切公式》(含答案详解)

课时同步练习(四十八) 二倍角的正弦、余弦、正切公式(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1.的值是(  )A.    B．－C.D．－A [原式＝＝＝＝.]2．若sin＝，cos＝－，则角α是(  )A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角C [∵sinα＝2sincos＝2××＜0，cosα＝cos2－sin2＝2－2＜0，∴α是第三象限的角．]3．已知sinα－cosα＝，则sin2α＝(  )A．－B．－C.D.A [∵sinα－cosα＝，6 ∴1－2sinαcosα＝，即1－sin2α＝，∴sin2α＝－.]4．若＝，则tan2α＝(  )A．－  B.C．－  D.B [因为＝，整理得tanα＝－3，所以tan2α＝＝＝.]5．已知等腰三角形底角的正弦值为，则顶角的正弦值是(  )A.B.C．－D．－A [设底角为θ，则θ∈，顶角为180°－2θ.∵sinθ＝，∴cosθ＝＝，∴sin(180°－2θ)＝sin2θ＝2sinθcosθ＝2××＝.]二、填空题6．已知sin2α＝，则cos2＝________. [cos2＝＝＝＝.]7．已知tanα＝－，则＝________.6 － [＝＝＝tanα－＝－.]8．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－，则tanα＝________.－ [∵tan(π＋2α)＝tan2α＝＝－，∴tanα＝－或tanα＝2.∵α在第二象限，∴tanα＝－.]三、解答题9．求证：＝tan.[证明] ＝＝＝tan.10．已知cosx＝，且x∈，求cos＋sin2x的值．[解] ∵cosx＝，x∈，∴sinx＝－＝－，∴sin2x＝2sinxcosx＝－，∴cos＋sin2x6 ＝＋＝－sin2x＝－×＝.[等级过关练]1．已知sin＝，则cos的值等于(  )A.B.C．－D．－C [因为cos＝sin＝sin＝，所以cos＝2cos2－1＝2×2－1＝－.]2．已知α，β均为锐角，且3sinα＝2sinβ，3cosα＋2cosβ＝3，则α＋2β的值为(  )A.B.C.D．πD [由题意得①2＋②2得cosβ＝，cosα＝，由α，β均为锐角知，sinβ＝，sinα＝，∴tanβ＝2，tanα＝，∴tan2β＝－，∴tan(α＋2β)＝0.又α＋2β∈，∴α＋2β＝π.故选D.]6 3．化简：tan70°cos10°(tan20°－1)＝________.－1 [原式＝·cos10°·＝·cos10°·＝·cos10°·＝－·＝－1.]4．已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，则锐角α＝________. [由原式，得sin22α＋sin2αcosα－2cos2α＝0，∴(2sinαcosα)2＋2sinαcos2α－2cos2α＝0，∴2cos2α(2sin2α＋sinα－1)＝0，∴2cos2α(2sinα－1)(sinα＋1)＝0.∵α为锐角，∴cos2α≠0，sinα＋1≠0，∴2sinα－1＝0，∴sinα＝，∴α＝.]5．已知sinα＋cosα＝，且α∈(0，π)．(1)求tan2α的值；(2)求2sin2－sin.[解] (1)由sinα＋cosα＝，得sinαcosα＝－，因为α∈(0，π)，所以α∈，6 所以sinα－cosα＝＝，解得sinα＝，cosα＝－，故tanα＝－，所以tan2α＝＝.(2)2sin2－sin＝1－cos－sin＝1－cosα＋sinα－sinα－cosα＝1－cosα＝.6