人教版高中数学必修第一册课时同步练习42《周期性与奇偶性》(含答案详解)

课时同步练习(四十二) 周期性与奇偶性(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．下列函数中最小正周期为π的偶函数是(  )A．y＝sin   B．y＝cosC．y＝cosxD．y＝cos2xD [A中函数是奇函数，B、C中函数的周期不是π，只有D符合题目要求．]2．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是(  )B [由f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．由f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期为2.故选B.]3．函数f(x)＝sin的最小正周期为，其中ω＞0，则ω等于(  )A．5    B．10C．15    D．20B [由已知得＝，又ω＞0，所以＝，ω＝10.]4．函数y＝|cosx|－1的最小正周期为(  )A.B．πC．2πD．4π5 B [因为函数y＝|cosx|－1的周期同函数y＝|cosx|的周期一致，由函数y＝|cosx|的图象(略)知其最小正周期为π，所以y＝|cosx|－1的最小正周期也为π.]5．定义在R上的函数f(x)周期为π，且是奇函数，f＝1，则f的值为(  )A．1    B．－1C．0    D．2B [由已知得f(x＋π)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，所以f＝f＝f＝－f＝－1.]二、填空题6．关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下说法：①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；②存在φ，使f(x)是偶函数；③存在φ，使f(x)是奇函数；④对任意的φ，f(x)都不是偶函数．其中错误的是________(填序号)．①④ [φ＝0时，f(x)＝sinx，是奇函数，φ＝时，f(x)＝cosx是偶函数．]7．若函数f(x)＝2cos的最小正周期为T，且T∈(1,4)，则正整数ω的最大值为________．6 [T＝，1＜＜4，则＜ω＜2π，∴ω的最大值是6.]8．若f(x)为奇函数，当x＞0时，f(x)＝cosx－sinx，当x＜0时，f(x)的解析式为________．f(x)＝－cosx－sinx [x＜0时，－x＞0，f(－x)＝cos(－x)－sin(－x)＝cosx＋sinx，因为f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－cosx－sinx，即x＜0时，f(x)＝－cosx－sinx．]5 三、解答题9．已知函数y＝sinx＋|sinx|.(1)画出函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．[解] (1)y＝sinx＋|sinx|＝图象如下：(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π.10．判断函数f(x)＝lg(sinx＋)的奇偶性．[解] ∵f(－x)＝lg[sin(－x)＋]＝lg(－sinx)＝lg＝lg(sinx＋)－1＝－lg(sinx＋)＝－f(x)．又当x∈R时，均有sinx＋＞0，∴f(x)是奇函数．[等级过关练]1．函数f(x)＝是(  )A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数C [由1＋sinx≠0得sinx≠－1，所以函数f(x)的定义域为，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数．]2．设函数f(x)＝sinx，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝(  )5 A.B．－C．0D.D [∵f(x)＝sinx的周期T＝＝6，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝336[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＝336sin＋sinπ＋sinπ＋sinπ＋sinπ＋sin2π＋f(336×6＋1)＋f(336×6＋2)＋f(336×6＋3)＝336×0＋f(1)＋f(2)＝sin＋sinπ＋sinπ＝.]3．已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0＜x＜3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cosx＜0的解集是______________________．∪(0,1)∪ [∵f(x)是(－3,3)上的奇函数，∴g(x)＝f(x)·cosx是(－3,3)上的奇函数，从而观察图象(略)可知所求不等式的解集为－，－1∪(0,1)∪，3.]4．设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13.若f(1)＝2，则f(99)＝________. [因为f(x)·f(x＋2)＝13，所以f(x＋2)＝，所以f(x＋4)＝＝＝f(x)，5 所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(99)＝f(3＋4×24)＝f(3)＝＝.]5．已知函数f(x)＝cos，若函数g(x)的最小正周期是π，且当x∈时，g(x)＝f，求关于x的方程g(x)＝的解集．[解] 当x∈时，g(x)＝f＝cos.因为x＋∈，所以由g(x)＝解得x＋＝－或，即x＝－或－.又因为g(x)的最小正周期为π，所以g(x)＝的解集为.5