人教版高中数学新教材必修第一册：5.1.2《弧度制》精品学案（含答案）

【新教材】5.1.2弧度制（人教A版）1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．一、预习导入阅读课本172-174页，填写。1．度量角的两种单位制(1)角度制①定义：用_________作为单位来度量角的单位制．②1度的角：周角的_________．(2)弧度制①定义：以_________作为单位来度量角的单位制．②1弧度的角：长度等于_________的弧所对的圆心角．2．弧度数的计算 3.角度制与弧度制的转算4．一些特殊角与弧度数的对应关系度0°30°45°________120°135°150°________360°弧度0____________________π____5．扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则：(1)弧长公式：l＝________．(2)扇形面积公式：S＝________＝________．1．下列说法中错误的是(  )A．1弧度的角是周角的B．弧度制是十进制，而角度制是六十进制C．1弧度的角大于1度的角D．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度 2．(1)化为角度是________．(2)105°的弧度数是________．3．半径为2，圆心角为的扇形的面积是________．4．－π是第________象限的角．题型一角度制与弧度制的互化例1 把下列弧度化成角度或角度化成弧度：(1)－450°；(2)；(3)－；(4)112°30′.跟踪训练一1．将下列角度与弧度进行互化．(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－.题型二用弧度制表示角的集合例2 用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)．跟踪训练二1．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)． ①     ②题型三扇形的弧长与面积问题例3一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？跟踪训练三1、已知某扇形的圆心角为80°,半径为6cm,则该圆心角对应的弧长为(  )A.480cmB.240cmC2、如图,已知扇形AOB的圆心角为120°,半径长为6,求弓形ACB的面积.1．下列说法中，错误的是（  ）A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.的角是周角的，的角是周角的C.的角比的角要大D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关2．化为弧度是（）A．B．C．D．3．下列各角中，终边相同的角是() A.和B.和C.和D.和4．半径为，面积为的扇形中，弧所对的圆心角为（）A．2B．C．D．105．与30角终边相同的角的集合是（）A．B．C．D．6．弧长为，圆心角为的扇形，其面积为____.7．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合. 答案小试牛刀1．A2．(1)252°；(2).3．4.三自主探究例1 【答案】（1）－rad；(2)18°；(3)－240°；(4)rad.【解析】(1)－450°＝－450×rad＝－rad；(2)rad＝×°＝18°；(3)－rad＝－×°＝－240°；(4)112°30′＝112.5°＝112.5×rad＝rad.跟踪训练一1．【答案】（1）rad；（2）－rad；（3）105°；（4）－396°.【解析】(1)20°＝rad＝rad.(2)－15°＝－rad＝－rad.(3)rad＝×180°＝105°.(4)－rad＝－×180°＝－396°.例2 【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角， (1)(2).(3).跟踪训练二1．【答案】(1).(2).【解析】(1)如题图①，以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－＋2kπ(k∈Z)，所以阴影部分内的角的集合为.(2)如题图②，以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为＋2kπ(k∈Z)．不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，则M1＝，M2＝.所以阴影部分内的角的集合为M1∪M2＝.例3【答案】当扇形半径r＝5，圆心角为2rad时，扇形面积最大．【解析】设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，则l＝αr，依题意l＋2r＝20，即αr＋2r＝20，∴α＝.由l＝20－2r>0及r>0得0