人教版高中数学新教材必修第一册：5.1.1《任意角》精品学案（含答案）

【新教材】5.1.1任意角（人教A版）1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；2.逻辑推理：求区域角；3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义；难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．一、预习导入阅读课本168-170页，填写。1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条绕着端点从一个位置到另一个位置所成的．(2)角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图示正角按方向旋转形成的角 负角按方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角2．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的在第几象限，就说这个角是第几；如果角的终边上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与的和．1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)小于90°的角都是锐角．(  )(2)终边相同的角一定相等．(  )(3)锐角都是第一象限角．(  )(4)第二象限角是钝角．(  )2、2020°是(  )A．第一象限角       B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角3、与30°角终边相同的角的集合是(  )A．{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}D．{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z}4、将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为________． 题型一任意角和象限角的概念例1 (1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°，②855°，③－510°.跟踪训练一1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是(  )A．A＝B＝C B．A⊆CC．A∩C＝BD．B∪C⊆C2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有(  )A．1个B．2个C．3个D．4个题型二终边相同的角的表示及应用例2 (1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．跟踪训练二1.下面与－850°12′终边相同的角是(  )A．230°12′  B．229°48′C．129°48′D．130°12′2．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．题型三任意角终边位置的确定和表示例3(1)若α是第一象限角，则是(  )A．第一象限角B．第一、三象限角C．第二象限角D．第二、四象限角(2)已知，如图所示．①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合； ②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．跟踪训练三1．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？1．若角的终边相同，则的终边在（）A.轴的正半轴上B.轴的负半轴上C.轴的正半轴上D.轴的负半轴上2．在~0范围内所有与30角终边相同的角为（）A．B．C．或D．或3．下列叙述正确的是（）A．第一或第二象限的角都可作为三角形的内角B．始边相同而终边不同的角一定不相等C．若是第一象限角，则2是第二象限角D．钝角比第三象限角小4．（多选）若角是第二象限角，则是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角5．角的终边在第二象限，则的终边在第______________象限。6．写出在-360°到360°之间与-120°的角终边相同的角。 7．在角的集合，（1）有几种终边不同的角？（2）写出区间内的角？（3）写出第二象限的角的一般表示法．答案小试牛刀1．(1)× (2)× (3)√ (4)×2．C3．A 4.－25° 395°自主探究例1 【答案】（1）①（2）图略，①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．【解析】(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．(2) 作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．跟踪训练一1．【答案】D【解析】由已知得BC，所以B∪C⊆C，故D正确．2．【答案】D【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．例2 【答案】（1）(－3)×360°＋195°，（2）终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，适合不等式－720°＜β＜360°的元素－550°、－190°、170°.【解析】(1)－885°＝－1080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.(2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，∴k取1，2，3.当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°； 当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°；当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.跟踪训练二1.【答案】B【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，当k＝3时，α＝－850°12′＋1080°＝229°48′.2．【答案】{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}．【解析】落在第二象限时，表示为k·360°＋135°.落在第四象限时，表示为k·360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}．例3【答案】(1)B(2)①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．【解析】(1) 因为α是第一象限角，所以k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，所以k·180°＜＜k·180°＋45°，k∈Z，当k为偶数时，为第一象限角；当k为奇数时，为第三象限角．所以是第一、三象限角．(2) ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．跟踪训练三1．【答案】角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β