人教版高中数学新教材必修第一册：5.2.2《同角三角函数的基本关系》精品学案（含答案）

【新教材】5.2.2同角三角函数的基本关系（人教A版）1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．1.数学抽象：理解同角三角函数基本关系式；2.逻辑推理：“sinα±cosα”同“sinαcosα”间的关系；3.数学运算：利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.重点：理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用；难点：会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．一、预习导入阅读课本182-183页，填写。1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝________.商数关系：＝________.(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的________等于1，________等于角α的正切． 思考：“同角”一词的含义是什么？[提示] 一是“角相同”，如sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin215°＋cos215°＝1，sin2＋cos2＝1等．1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”.）(1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立．(  )(2)对任意角α，＝tan都成立．(  )(3)若sinα＝，则cosα＝.(  )2．化简的结果是(  )A．cos B．－cosC．sinD．－sin3．若sinα＝，且α是第二象限角，则tanα的值等于(  )A．－B．C．±D．±4．已知tanα＝2，则＝________.题型一应用同角三角函数关系求值例1(1)若，求cosα，tanα的值；(2)已知cosα＝－，求sinα，tanα的值．跟踪训练一 1．已知sinα＋3cosα＝0，求sinα，cosα的值．题型二三角函数式的化简、求值例2 (1)化简：；(2)若角α是第二象限角，化简：tanα.跟踪训练二1．化简：(1)；(2).题型三三角函数式的证明例3求证：.跟踪训练三1．求证：＝.题型四“sinα±cosα”同“sinαcosα”间的关系例4已知sinα＋cosα＝，且0＜α＜π.求：(1)sinαcosα的值；(2)求sinα－cosα的值．跟踪训练四1.已知sinα＋cosα＝，α∈(0，π)，则tanα＝．2.已知＝2，计算下列各式的值：(1)；(2)sin2α－2sinαcosα＋1.1．下列各式中成立的是(  )A．sin2α＋cos2β＝1B．tanα＝(α任意) C．cos2＝1－sin2D．sinα＝2．已知α∈，cosα＝，则tanα＝(  )A．±B．C．－D．3．已知tanα＝－，则的值是．4．已知sinα＋cosα＝，则sinαcosα＝________.5．已知tanα＝，且α是第三象限的角，求sinα，cosα的值．6．(1)化简，其中α是第二象限角；(2)求证：1＋tan2α＝. 答案小试牛刀1．（1）√（2）×（3）×.2．A3．A4.－.自主探究例1【答案】(1)当α是第三象限角时，cosα＝－，tanα＝.α是第四象限角时，cosα＝，tanα＝-(2)如果α是第二象限角，那么sinα＝，tanα＝－.如果α是第三象限角，sinα＝－，tanα＝.【解析】(1)∵sinα＝－，α是第三、第四象限角，当α是第三象限角时，cosα＝－＝－，tanα＝＝.α是第四象限角时， cosα＝＝，tanα＝＝-(2) ∵cosα＝－＜0，∴α是第二或第三象限的角．如果α是第二象限角，那么sinα＝＝＝，tanα＝＝＝－.如果α是第三象限角，同理可得sinα＝－＝－，tanα＝.跟踪训练一1．【答案】角α的终边在第二象限时，cosα＝－，sinα＝；当角α的终边在第四象限时，cosα＝，sinα＝－.【解析】 ∵sinα＋3cosα＝0，∴sinα＝－3cosα.又sin2α＋cos2α＝1，∴(－3cosα)2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1，∴cosα＝±.又由sinα＝－3cosα，可知sinα与cosα异号，∴角α的终边在第二或第四象限．当角α的终边在第二象限时，cosα＝－，sinα＝；当角α的终边在第四象限时，cosα＝，sinα＝－.例2 【答案】（1）1；（2）-1.【解析】 (1)原式＝＝＝＝1.(2)原式＝tanα＝tanα＝×，因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα