新教材高中数学人教版必修第一册：2.2《基本不等式》精讲(含解析)

2.2基本不等式思维导图常见考法 考点一公式的直接运用【例1】（1）（2020·全国高一课时练习）若，则的最大值是（）A．B．C．D．（2）（2020·全国高一课时练习）已知，求函数的最小值是（)A．4B．3C．2D．1【答案】（1）A（2）D【解析】（1），故，则，当时取“=”，所以正确选项为A（2）由，即，所以，时取“=”，所以正确选项为D考查基本不等式，采用构造法，基本不等式需注意：“一正二定三相等”缺一不可。一不可【一隅三反】 1．（2020·全国高一课时练习）若，则的最小值是(  )A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】则，，当时取“=”，所以正确选项为C2．（2020·上海高一开学考试）已知，函数的最小值是（）A．5B．4C．8D．6【答案】D【解析】因为该函数的单调性较难求，所以可以考虑用不等式来求最小值，，因为，由重要不等式可知，所以，本题正确选项为D.3．（2020·全国高一课时练习）已知函数在时取得最小值，则________．【答案】【解析】因为，所以，当且仅当即，由题意，解得考点二条件型【例2】（1）（2020·全国高一课时练习）已知实数，则的最小值为（)A．B．C．D．（2）（2020·哈尔滨德强学校高一期末）已知实数，，，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】（1）D（2）B 【解析】（1），正确选项为D（2）∵，，当且仅当，即，时取等号.故选B条件型（乘K法）：和为定值K，求倒数和的最小值，采用乘K法【一隅三反】1．（2020·全国高一开学考试）已知,则的最小值是()A．2B．C．4D．【答案】C【解析】（当且仅当，即时取等号）的最小值为故选：2．（2020·四川金牛。高一期末（文））若正数，满足，则的最小值是（）A．B．C．5D．25【答案】C【解析】正数，满足，则，当且仅当 时取等号．的最小值是5．故选：C．3．（2020·全国高一课时练习）已知，，则的最小值为_______________；【答案】【解析】采用常数1的替换，，当即时等号成立，所以答案为．考点三配凑型【例3】（1）（2020·衡水市第十三中学高一月考）已知，则的最小值是________．（2）（2019·四川高一期末）已知正数、满足，则的最小值为【答案】（1）5（2）【解析】当时，，，当且仅当，即当时，等号成立，因此，函数的最小值为.故答案为：.（2），所以，，则，所以，，当且仅当，即当时，等号成立， 因此，的最小值为，故选：．1.分子分母为一次函数和二次函数，把二次函数配凑成关系一次函数的一元二次，再分子分母同除一次函数2.给出等式但是不符合条件型，则从分母入手，分母相加减可得到等式的关系的倍数，即降次-配凑-均值不等式【一隅三反】1（2020·全国高一专题练习）设，求的最大值.【答案】1【解析】∵，∴∴所以当且仅当，即时等号成立所以的最大值为2．（2020·全国高一课时练习）函数的最小值为（）A．3B．2C．D．【答案】A【解析】，则，，当时取“=”，所以正确选项为A．3．（2020·全国高一课时练习）已知，则有   A．最大值B．最小值C．最大值1D．最小值1【答案】D【解析】当且仅当即时取等号，故选：．考点四换元法【例4】（2019·河北路南.高三期中（文））已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是()A．3B．4C．D．【答案】B【解析】考察均值不等式，整理得即，又，【一隅三反】1．（2020·上海高一开学考试）若正数满足，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为正数满足，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立.故选：A2．（2020·江西高一期末）已知a，，且满足，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴．即． 当且仅当时取等号．∴的最小值为故选：C3．（2020·黑龙江工农.高一期末（理））若正数满足，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，化简可得，左右两边同时除以xy得求的最大值，即求的最小值所以，当且仅当时取等号所以的最大值为所以选A4．（2020·浙江高三月考）已知实数满足，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，则，，，则，，，设，则，，解得，的最小值为.故选：B考点五求参数 【例5】（2020·浙江高一单元测试）已知不等式对任意实数、恒成立，则实数的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.若，则，从而无最小值，不合乎题意；若，则，.①当时，无最小值，不合乎题意；②当时，，则不恒成立；③当时，，当且仅当时，等号成立.所以，，解得，因此，实数的最小值为.故选：C.【一隅三反】1．（2020·河北路南.高一期中）若对于任意恒成立，则a的取值范围是（  ）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以，因为，所以（当且仅当时取等号）， 则，即的最大值为，故.故选：2．（2020·河南高三其他（理））若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意得当时，恒成立，又因为，当且仅当时取等号，所以的最大值为，所以，解得，因此，实数的取值范围为.故选：B.3．（2020·西夏.宁夏大学附属中学高二月考（文））若两个正实数x，y满足，且恒成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，两个正实数x，y满足，则，当且仅当，即时，等号成立， 又由恒成立，可得，即，解得，即实数m的取值范围是.故选：C.考点六实际应用题【例6】（2020·浙江高一课时练习）某工厂拟建一个平面图形为矩形，且总面积为平方米的三级污水处理池，如图R3－1所示.已知池外墙造价为每米元，中间两条隔墙造价为每米元，池底造价为每平方米元（池壁的厚度忽略不计，且污水处理池无盖）.若使污水处理池的总造价最低，那么污水处理池的长和宽分别为（）A．米，米B．米，米C．米,米D．米，米【答案】C【解析】设污水池的宽为米，则长为米，总造价为，则（元），当且仅当时，即当时，总造价最低，此时，污水池的宽为米，长为米.故选：C.【一隅三反】1．（2019·全国高一课时练习）设计用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为，则车厢的最大容积是（） A．（38－3m3B．16m3C．4m3D．14m3【答案】B【解析】设长方体车厢的长为xm，高为hm，则，即，∴，即，解得，∴．∴车厢的容积为．当且仅当且，即时等号成立．∴车厢容积的最大值为．选B．2．（2020·全国高一课时练习）将一根铁丝切割成三段，做一个面积为，形状为直角三角形的框架，在下列4种长度的铁丝中，选用最合理共用且浪费最少的是()A．6.5mB．6.8mC．7mD．7.2m【答案】C【解析】设直角三角形的框架的两条直角边为x，y（x＞0，y＞0）则xy＝4，此时三角形框架的周长C为：x+y+＝x+y+∵x+y≥2＝4∴C＝x+y+≥4+2≈6.83故用7米的铁丝最合适．故选C．3．（2020·全国高一课时练习）某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买吨，已知每次的运费为4万元/次，一年总的库存费用为万元，为了使总的费用最低，每次购买的数量为_____________；【答案】20吨【解析】由题意，总的费用，当时取“=”，所以答案为20吨。