新教材高中数学人教版必修第一册：1.4《充分、必要条件》精讲(含解析)

1.4充分、必要条件（精讲）思维导图 常见考法考法一命题及其判断【例1】（1）（2020·全国高一课时练习）下列语句为命题的是（）A．B．求证对顶角相等C．不是偶数D．今天心情真好啊 （2）（2020·全国高一课时练习）命题“三角形中，大边对大角”，改成“若，则”的形式，则（)A．三角形中，若一边较大，则其对的角也大，真命题B．三角形中，若一边较大，则其对的角也大，假命题C．若一个平面图形是三角形，则大边对大角，真命题D．若一个平面图形是三角形，则大边对大角，假命题【答案】（1）C（2）A）【解析】（1）对于A选项，为不等式，不能判定真假，故不是命题；对于B选项，“求证对顶角相等”为操作命令；对于D选项，为感叹句，不是命题.故选：C.（2））命题中“三角形中”是大前提，条件应该是“大边”，结论是“对大角”，所以正确选项为A.1.命题的判断：（1）陈述句（2）可以判断对错2.命题的一般形式：若p则q3.命题的逆命题、否命题、逆否命题的改写时，先把原命题改成若p则q【一隅三反】1．（2019·宁波市第四中学高二期中）命题“若，都是奇数，则是偶数”的逆否命题是（）A．若两个整数与的和是偶数，则，都是奇数B．若两个整数，不都是奇数，则不是偶数C．若两个整数与的和不是偶数，则，都不是奇数D．若两个整数与的和不是偶数，则，不都是奇数【答案】D【解析】由逆否命题定义可知：命题“，都是奇数，则是偶数”的逆否命题是：“若不是偶数，则，不都是奇数”．故选：D．2．（2020·全国高三专题练习（文））命题“若，则”的逆否命题是（）A．若，则，或B．若，则C．若，或，则D．若或，则【答案】D【解析】命题“若，则”的逆否命题是“若或，则”. 故选：D.3．（2020·黑龙江高二期末（文））若，则的否命题是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】C【解析】“若，则”的否命题是“若，则”.故选：C.考法二充分、必要条件【例2】（1）（2019年天津市高考数学试卷（理科））设，则“”是“”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件（2）（2019安徽省）不等式成立的一个充分不必要条件是（）A．B．或C．D．或【答案】（1）B（2）C【解析】（1）化简不等式，可知推不出；由能推出，故“”是“”的必要不充分条件，故选B．（2）解不等式，得或，结合四个选项，D是其充要条件，AB是其既不充分也不必要条件，C选项是其充分不必要条件.故选：C.【一隅三反】1.（北师大版新教材2.1必要条件与充分条件）设集合，，则“”是“”的（)A．充分条件B．必要条件C．没有充分、必要性D．既是充分又是必要条件【答案】A【解析】当，集合，，所以正确，即“”是“ ”的充分条件，所以正确选项为A.2．（2020届山东省烟台市高考诊断性测试）设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，解得，，解得或，“”成立，则“或”成立，而“或”成立，“”不一定成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A3．若集合，下列各式是“”的充分不必要条件的是（)A．B．C．D．【答案】B【解析】集合，当时，，反之不成立，即为充分不必要条件，所以正确选项为B.考法三求参数【例3】（《2020年高考一轮复习讲练测》）已知，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知：可化简为，，所以中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集，所以.利用原命题与其逆否命题的等价性，对是的充分不必要条件进行命题转换，使问题易于求解.【一隅三反】1“关于x的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是() A．B．C．D．或【答案】C【解析】因为关于的不等式的解集为，所以函数的图象始终落在轴的上方，即，解得，因为要找其必要不充分条件，从而得到是对应集合的真子集，对比可得C选项满足条件，故选C.2．已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，即，解得，由得，若是的充分不必要条件，则，解得，实数的取值范围为，故选：C.3．（河南省高中毕业班阶段性测试（四）理科数学试）关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题可知是不等式的解集的一个真子集.当时，不等式的解集为，此时Ü；当时，不等式的解集为，Ü，合乎题意； 当时，不等式的解集为，由题意可得Ü，此时.综上所述，.故选：D.考法四充分性必要性的证明【例4】（2020年【衔接教材暑假作业】初高中衔接数学）已知都是非零实数，且，求证：的充要条件是.【答案】见解析【解析】（1）必要性：由，得，即，又由，得，所以.（2）充分性：由及，得，即.综上所述，的充要条件是【一隅三反】1．（2020年【衔接教材暑假作业】初高中衔接数学（新人教版））求证：关于x的方程有两个负实根的充要条件是．【答案】详见解析【解析】充分性：，，方程有实根，设的两根为，，由韦达定理知：，、同号，又，，同为负根； 必要性：的两个实根，均为负，且，，．所以命题得证．2．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac