新教材高中数学人教版必修第一册：2.1《等式与不等式的性质》精讲(含解析)

2.1等式与不等式的性质思维导图 常见考法 考点一等式性质【例1】（2019·全国高一课时练习）下列变形中错误的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【解析】根据等式的性质易知A，B，C正确；对于D，当时，两边都除以无意义，故本选项错误.故选:D.【一隅三反】1．（2019·全国高一课时练习）根据等式的性质判断下列变形正确的是（）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．如果，那么【答案】D【解析】对于A，没有的条件，等式的两边不能都除以，故选项A不正确；对于B，等式的左边减去5，等式的右边乘以后加上5，等式不成立，故选项B不正确；对于C，等式的左边乘以2，等式的右边除以2，等式不成立，故选项C不正确；对于D，等式的两边都乘以 ，等式成立，故选项D正确.故选:D.2．（2019·全国高一课时练习）若，则下列变形正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】对于A，根据等式的性质，得，故该选项错误；对于B，根据等式的性质，得-，故该选项正确；对于C，根据等式的性质，得或，故该选项错误；对于D，根据等式的性质，得，故该选项错误.故选:B.考点二不等式性质【例2】（2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末）对于任意实数a，b，c，则下列四个命题：①若，，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确命题的个数为（）A．3B．2C．1D．0【答案】C【解析】时，若，则，①错误；若，则，②错误；若，则，∴，③正确；，若，仍然有，④错误．正确的只有1个．故选：C．本题考查不等式正误的判断，常用的判断方法有：不等式的基本性质、特殊值法以及比较法【一隅三反】1．（2020·上海高一开学考试）下列命题正确的是（） A．若，则B．若，则C．若，，则D．若，，则【答案】C【解析】A.若，则，取不成立B.若，则，取不成立C.若，，则，正确D.若，，则，取不成立故答案选C2．（2020·全国高一开学考试）若、、为实数，则下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】B【解析】对于A选项，若，则，故A不成立；对于B选项，，在不等式同时乘以，得，另一方面在不等式两边同时乘以，得，，故B成立；对于选项C，在两边同时除以，可得，所以C不成立；对于选项D，令，，则有，，，所以D不成立.故选B.3．（2020·高一月考）下列结论正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】C【解析】对于A，取时，，则A错误；对于B，取时，，则B错误；对于C，因为，所以由不等式的性质可知，则C正确；对于D，取时，，则D错误；故选：C 考点三比较大小【例3】（2020·全国高一课时练习）已知a，b均为正实数，试利用作差法比较与的大小.【答案】【解析】∵.又a，b均为正实数，当时，；当时，，则.综上所述，.一．作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法．①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论．②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论．二．介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．三．比较大小时应注意：（1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止；【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）已知，那么的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，则，所以，所以，故选C. 2．（2020·浙江高一课时练习）设，则的大小关系为（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】，，，，.又，故．综上可得：．故选：.考点四代数式的取值范围【例4】(1)（2019·广东高考模拟（理））已知，，则的取值范围是（  ）A．B．C．D．(2)（2019·浙江高一月考）已知实数，满足，，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】(1)C(2)B【解析】(1)令则，∴，又，…∴①，∴…②∴①②得．则．故选C． (2)令，，,则又，因此，故本题选B.代数式的取值范围的一般思路：（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；（2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；（3）结合不等式的传递性进行求解【一隅三反】1．（2020·安徽金安.高一期中（文））已知二次函数的图象过原点，且，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】二次函数的图像过原点，设二次函数为：，，，……①，……②，则3①+6②得：即，故选：B.2．（2020·山东济宁.高一月考）若，则的范围为_______________【答案】【解析】依题意可知，由于，由不等式的性质可知.故填：.3．（2019·全国高一课时练习）已知，，则的值为____________. 【答案】24【解析】由题得.故答案为：2考点五不等式证明【例5】（2020·全国高一课时练习）已知，，求证：.【答案】证明见解析.【解析】，因为，，所以，，故，即证：.【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）证明不等式().【答案】证明见解析.【解析】证明：因为，所以，所以两边同除以4，即得，当且仅当时，取等号.2．（2020·全国高一课时练习）如果，，证明：.【答案】证明见解析.【解析】证明：由，，则，又,，则，又，故.3．（2020·全国高一）已知，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）证明：．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由a＞b＞c＞d＞0得a－d＞b－c＞0，即(a－d)2＞(b－c)2， 由ad＝bc得(a－d)2＋4ad＞(b－c)2＋4bc，即(a＋d)2＞(b＋c)2，故a＋d＞b＋c．（Ⅱ）.因为，所以，故.同理，.从而.即