新教材高中数学人教版必修第一册：3.1《函数的概念及表示》精讲(含解析)

3.1函数的概念思维导图 常见考法考点一区间的表示【例1】（2019·全国高一）一般区间的表示设，且，规定如下:定义名称符号数轴表示闭区间______开区间______半开半闭区间______半开半闭区间______【答案】【解析】(1).若,写成区间形式为 (2).若,写成区间形式为(3).若,写成区间形式为(4).若,写成区间形式为故答案为:(1).(2).(3).(4).不等式改写成区间表达形式,注意边界情况【一隅三反】1．（2019·全国高一课时练习）已知区间，则的取值范围为______．【答案】【解析】由题意，区间，则满足，解得，即的取值范围为．故答案为．2．（2019·全国高一课时练习）用区间表示下列集合：（1）______；（2）______；（3）______．【答案】【解析】（1）根据集合与区间的改写，可得．（2）由或．（3）由或．3．（2019·全国高一课时练习）用区间表示下列集合：______；______；______；______.【答案】【解析】集合表示大于的所有实数，可用开区间表示为；集合 表示大于2且小于或等于5的所有实数，可用左开右闭区间表示为；集合表示小于或等于的所有实数，可用左开右闭区间表示为；集合表示大于或等于2且小于或等于4的所有实数，可用闭区间表示为.考点二函数的判断【例2-1】（2020·浙江高一开学考试）下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（  ）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．如图，C选项中，在x允许的取值范围内取x＝x0，此时函数y与之对应的有2个值，y＝y1，y＝y2，不符合函数的定义.其它三个选项都符合函数的定义.故选：C．【例2-2】（2019·浙江湖州.高一期中）下列对应关系是从集合到集合的函数的是（）A．，，： B．，，：C．，，：D．，，：【答案】D【解析】A.，，：不是函数关系，∵当x＝0时，|0|＝0，|x|＞0不成立，∴不是函数关系；B.，，：的定义域是，不是，当时，无意义，∴不是函数关系；C.，，：的定义域是，不是，当是负整数时，无意义，∴不是函数关系；D.，，：是函数关系.故选：D【一隅三反】1．（2020·上海高一课时练习）如图所示，表示函数图像的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据函数的定义知，一个有唯一的 对应，由图象可看出，只有选项B的图象满足这一点．故选：B．2．（2020·上海高一课时练习）下列各图中能作为函数图像的是（）．A．①②B．①③C．②④D．③④【答案】A【解析】对①②，对于定义域内的任意一个，都有唯一的值与对应，则①②正确；对③，在内，此时一个有两个值与对应，则③错误；对④，在内，此时一个有两个值与对应，则④错误；故选：A3．（2020·全国高一课时练习）判断下列对应是否为函数：（1）x→y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}；（2）x→y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}；（3）x→y＝3x＋1，x∈R，y∈R.【答案】（1）不是；（2）是；（3）是【解析】（1）根据函数概念知，当时，在没有值与对应，所以不是函数；（2）根据函数概念，当时，，所以对于每一个值，都有唯一的值与之对应，所以是函数；（3）根据函数概念，对于每一个值，都有唯一的值与之对应，所以是函数； 考点三定义域【例3-1】（2020·上海高一开学考试）函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，解得x≥且x≠2．∴函数的定义域为．故选：C．【例3-2】（2020·全国高一）已知的定义域为，（1）求的定义域；（2）求的定义域【答案】（1）（3，5）；（2）.【解析】（1）的定义域为，，则，即的定义域为；（2）的定义域为；由得，即的定义域为．抽象函数的定义域的求解，解抽象函数的定义域要抓住以下两点：（1）函数的定义域指的是自变量的取值范围；（2）对于函数和的定义域的求解，和的值域相等，由此列不等式求出的取值范围作为函数的定义域.（3）对于抽象函数定义域的求解，（1）若已知函数的定义域为，则复合函数的定义域由不等式.（4）若复合函数的定义域为，则函数的定义域为在上的值域. 【一隅三反】1．（2019·浙江高一期中）函数的定义域是()A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可得：，且，得到，且，故选：D2．（2019·高三月考）函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，可得，所以函数的定义域为.故选A.3．（2020·浙江高一课时练习）已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x＋1)的定义域为________．【答案】【解析】由－1