新教材高中数学人教版必修第一册：3.3《幂函数》精讲(含解析)

3.3幂函数思维导图常见考法 考点一幂函数的判断122【例1】（2020·全国高一课时练习）在函数y，y2x，yxx，y1中，幂函数的个数为（）2xA．0B．1C．2D．3【答案】B12【解析】因为yx，所以是幂函数；2x2y2x由于出现系数2，因此不是幂函数；2yxx是两项和的形式，不是幂函数；00y1x（x0），可以看出，常数函数y1的图象比幂函数yx的图象多了一个点(0,1)，所以常数函数y1不是幂函数.故选：B.【一隅三反】1．（2019·广东揭阳.高一期末）下列函数中哪个是幂函数（）321x33A．yB．yC．y2xD．y(2x)x2【答案】A3213x33【解析】幂函数是yx，R，显然yx，是幂函数.y，y2x，y(2x)x2都不满足幂函数的定义，所以A正确．故选：A．2．（2019·滦南县第二高级中学高一期中）下列函数是幂函数的是（）123xA．y2xB．yxxC．y3D．yx2【答案】D1【解析】形如yx的函数称为幂函数，据此只有yx2才符合幂函数的定义，故选择D.考点二幂函数的三要素 a12【例2-1】（2020·辽阳市第四高级中学高三月考）已知幂函数fxkx的图象过点,，则22ka______.【答案】1.5a12【解析】因为函数fxkx是幂函数，所以k1，又因为幂函数的图象过点,，所以22a0.5121，所以a0.5所以ka1.5，故答案为：1.52224【例2-2】（2020·全国高一课时练习）（1）函数yx5的定义域是_____，值域是_____；4（2）函数yx5的定义域是____，值域是_____；5（3）函数yx4的定义域是______，值域是_____；5（4）函数yx4的定义域是_____，值域是______.【答案】R[0,){x|x0}(0,)[0,)[0,)(0,)(0,)4【解析】（1）yx5的定义域是R，值域是[0,)；41yx5的定义域是{x|x0}，值域是(0,)；（2）4x55（3）yx4的定义域是[0,)，值域是[0,)；51yx4的定义域是(0,)，值域是(0,)；（4）5x4故答案为：R；[0,)；{x|x0}；(0,)；[0,)；[0,)；(0,)；(0,)．先用待定系数法设出函数的解析式，再代入点的坐标，计算出参数的值即可得出正确选项【一隅三反】1（2020·上海高一开学考试）若幂函数图像过点(8,4)，则此函数的解析式是y________.2【答案】x32【解析】设幂函数的解析式为yx，由于函数图象过点(8,4)，故有48，解得，3 22所以该函数的解析式是yx3，故答案为：x3.2．（2019·银川唐徕回民中学高三月考（理））已知幂函数yfx的图象过点2,2，则f16______．【答案】41【解析】由题意令()aaay=fx=x，由于图象过点(2,2)，得22，211yf(x)x2f(16)1624故答案为：4．3．（2020·浙江高一课时练习）若点P(2,4)，Q(3,y0)均在幂函数yf(x)的图象上，则实数y0_____．【答案】92【解析】设幂函数为fxx，将P2,4代入得24,2，所以fxx，2令x3，求得y039.4．（2020·全国高一课时练习）讨论下列函数的定义域、值域.1243（1）yx；（2）yx4；（3）yx；（4）yx3.【答案】（1）定义域为R，值域为[0,)；（2）定义域为[0,)，值域为[0,)；（3）定义域为(,0)(0,)，值域为(,0)(0,)；（4）定义域为R，值域为[0,).【解析】（1）函数的定义域为R，值域为[0,).1（2）因为yx44x，所以函数的定义域为[0,)，值域为[0,).31（3）因为yx，所以x0，且y0，所以函数的定义域为(,0)(0,)，值域为3x(,0)(0,).2（4）因为yx33x2，所以函数的定义域为R，值域为[0,).考法三幂函数的性质22n3n【例3】．（2020·福建南平.高一期末）已知幂函数fxn2n2x(nZ)在0,上是减函数，则n的值为（）A．3B．1C．1D．1和3【答案】B【解析】因为函数是幂函数所以2n2n21所以n3或n1 18当n3时fxx在0,上是增函数，不合题意.2当n1时fxx在0,上是减函数，成立故选：B【一隅三反】3m71．（2020·辽宁沈阳。高一期末）已知幂函数fxxmN的图象关于y轴对称，且与x轴、y轴均无交点，则m的值为（）A．1B．0C．1D．2【答案】C【解析】由题意可得：3m70且3m7为偶数，mN，7解得m，且3m7为偶数，mN，∴m1．故选：C．322．（2019·陕西秦都.高一月考）设1,2,,3，则使函数yx的定义域为R，且为3偶函数的所有的值为（）2A．1,3B．1,2C．1,3,2D．2,3【答案】D1【解析】函数yx，定义域为x|x0，且为奇函数，不符合题意.2函数y=x，定义域为R，且为偶函数，符合题意.2函数yx3，定义域为R，且为偶函数，符合题意.3函数yx，定义域为R，且为奇函数，不符合题意.故选：D1n2．（2019·四川省仁寿县文宫中学高一期末）设n1,0,,1,2,3，则使得f(x)x的定义域为R且f(x)2为奇函数的所有n值的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B1【解析】当n1时，f(x)定义域为xx0，不满足题意x 0当n0时，f(x)x定义域为xx0，不满足题意1当n时，f(x)x定义域为xx0，不满足题意2当n1时，f(x)x定义域为R，且为奇函数，满足题意2当n2时，f(x)x定义域为R，是偶函数，不满足题意3当n3时，f(x)x定义域为R，且为奇函数，满足题意n所以，使得f(x)x的定义域为R且f(x)为奇函数的所有n值的个数为2故选：B考法四幂函数的图像n【例4-1】（2020·浙江杭州.高一期末）已知幂函数yx在第一象限内的图象如图所示．若11n2,2,,则与曲线C1，C2，C3，C4对应的n的值依次为（）221111A．,2,2,B．2,,2,22221111C．2,,,2D．,2,,22222【答案】C【解析】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在x1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次11增大，曲线C1，C2，C3，C4对应的n的值依次为：2,,,222故选：C.n【例4-2】函数f(x)x1恒过一个定点，这个定点坐标是;【答案】(1,2)nn【解析】因为f(x)x恒过(1,1)，故f(x)x1恒过(1,2)故答案为(1,2) 【一隅三反】-21．（2020·上海青浦高一期末）幂函数y=x的大致图象是()A．B．C．D．【答案】C-2【解析】幂函数y=x在(0,)是减函数，且为偶函数，故选:C.2．（2019·湖北沙区.高一期中）下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是()1121A．①yx3，②y=x，③yx2，④yx1321B．①yx，②y=x，③yx2，④yx1231C．①y=x，②yx，③yx2，④yx1121D．①yx3，②yx2，③y=x，④yx【答案】B 【解析】②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项C，D①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除A故选：B．1123．（2018·贵州高三学业考试）三个幂函数（1）yx，（2）yx2，（3）y=x都经过的点的坐标是（）A．4,2B．2,4C．0,0D．1,1【答案】D112【解析】当x1时，得到yx1，yx21，y=x=1，故都过点1,1.故选：D.