新教材高中数学人教版必修第一册：3.4《函数的应用（一）》精讲(含解析)

3.4函数的应用（一）思维导图常见考法考点一一次函数模型【例1】（2020·全国高一专题练习）某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y＝6x＋30000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（）A．2000套B．3000套C．4000套D．5000套【答案】D【解析】因利润z＝12x－(6x＋30000),所以z＝6x－30000,由z≥0解得x≥5000,故至少日生产文具盒5000套.故选：D【一隅三反】1．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施. 方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗为30000元；方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费.问：（1）工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明.（2）若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？【答案】见解析【解析】设工厂每月生产x件产品时，依方案一的利润为，依方案二的利润为，由题意知，.（1）当时，，，因为，所以应选择方案二处理污水.（2）当时，，，因为，所以应选择方案一处理污水考点二二次函数模型【例2】（2020·浙江高一课时练习）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售单价（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数，已知销售单价为元/千克时，每日可售出该商品千克.（1）求的值；（2）若该商品的进价为元/千克，试确定销售单价的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出利润的最大值.【答案】（1）（2）当时，函数取得最大值，且最大值等于440.【解析】（1）因为.且时，.所以解得..（2）由（1）可知，该商品每日的销售量. 所以商场每日销售该商品所获得的利润：因为为二次函数，且开口向上，对称轴为.所以，当时，函数取得最大值，且最大值等于440.所以当销售价格定为6元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大利润为440元.【一隅三反】1．（2020·全国高一专题练习）某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个，若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个_____元.【答案】60【解析】设涨价x元，销售的利润为y元，则，当，即销售单价为60元时，y取得最大值.故答案为：602（2019·安徽金安.高一月考）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，且投资1万元时的收益为万元，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元，（1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？【答案】（1）；（2）投资债券等稳健型产品为万元，投资股票等风险型产品为万元，投资收益最大为3万元.【解析】（1）依题意设，，；（2）设投资股票等风险型产品为万元，则投资债券等稳健型产品为万元， ，当万元时，收益最大万元，20万元资金，投资债券等稳健型产品为万元，投资股票等风险型产品为万元，投资收益最大为3万元.考点三分段函数模型【例3】（2019·黄梅国际育才高级中学高一月考）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数，其中x（台）是仪器的月产量．（1）将利润表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益总成本利润）【答案】（1）；（2）每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25000元．【解析】（1）月产量为台，则总成本为元，从而．（2）由（1）可知，当时，，当时，；当时，是减函数，，当时，，即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25000元．【一隅三反】 1．（2020·浙江高一课时练习）2018年10月24日，世界上最长的跨海大桥—港珠澳大桥正式通车。在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数当桥上的车流密度达到220辆/千米，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米，车流速度为100千米/时研究表明：当时，车流速度v是车流密度x的一次函数.（1）当时，求函数的表达式；（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）可以达到最大？并求出最大值.【答案】（1）；（2）当车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最大值为6050辆/时.【解析】（1）由题意，当时，v(x)=100，当时，设，则解得：，∴（2）由题意，当时，的最大值为当时，，的最大值为∴当车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最大值为6050辆/时.2．（2020·宾县第二中学高二期中（理））某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为(万元)．（1）若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x 的函数；（2）当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？【答案】（1）f（x）＝；（2）475件.【解析】（1）当05时,产品只能售出500件.所以f（x）＝即f（x）＝（2）当05时,f（x）