新教材高中数学人教版必修第一册：4.4《对数函数》精讲(含解析)

4.4对数函数思维导图 常见考法 考点一对数函数的概念辨析【例1-1】（2019·全国高一）下列函数表达式中，是对数函数的有（）①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】由于①中自变量出现在底数上，①不是对数函数；由于②中底数不能保证，且，②不是对数函数；由于⑤⑦的真数分别为，，⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中的系数为2，⑥也不是对数函数；只有③④符合对数函数的定义.故选：B【例1-2】（2020·宝鸡市渭滨中学高一期中）若函数的图像过点，则 的值为（）A．B．2C．D．【答案】B【解析】由题,.故选：B判断一个函数是对数函数的方法【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）下列函数为对数函数的是（）A．y＝logax＋1(a＞0且a≠1)B．y＝loga(2x)(a＞0且a≠1)C．y＝log(a－1)x(a＞1且a≠2)D．y＝2logax(a＞0且a≠1)【答案】C【解析】根据对数函数的定义，可得判定，只有函数且复数对数函数的概念，所以函数且是对数函数，而选项A、B、D中的函数只能是对数型函数，不是对数函数.故选：C.2．下列函数是对数函数的是()A．B．C．D．【答案】C【解析】由对数函数定义可以，本题选C．3．下列函数，是对数函数的是A．y=lg10xB．y=log3x2 C．y=lnxD．y=log（x–1）【答案】C【解析】由对数函数的定义，形如y=logax（a>0，a≠1）的函数是对数函数，由此得到：y=lg10x=x，y==2、y=都不是对数函数，只有y=lnx是对数函数．故选C．4．（2020·全国高一课时练习）对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为(　　)A．y＝log4xB．y＝xC．y＝xD．y＝log2x【答案】D【解析】由于对数函数的图象过点M(16,4)，所以4＝loga16，得a＝2所以对数函数的解析式为y＝log2x，故选D.考点二单调性（区间）【例2】（1）（2020·辽宁锦州·高二期末）函数的单调减区间是（）A．B．C．D．（2）（2019·高一月考）已知在上是增函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】（1）D（2）C【解析】由题：，，解得：，的减区间，即的减区间，对称轴为结合二次函数单调性，所以的减区间.故选：D（2）设，在上是增函数，，即，解得，实数的取值范围是，故选：C． 函数单调性的判断方法，一般地，增函数与增函数的和为增函数，增函数与减函数的差为增函数，复合函数的单调性的判断方法是同增异减，对于与对数函数有关的复合函数，注意真数恒大于零的要求.【一隅三反】1．（2019·小店·山西大附中高一期中）函数的单调递减区间为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，解得或令，因为的图像开口向上，对称轴方程为，所以内函数在上单调递增，外函数单调递减，所以由复合函数单调性的性质可知函数的单调递减区间为故选A.2．函数y=是A．区间（–∞，0）上的增函数B．区间（–∞，0）上的减函数C．区间（0，+∞）上的增函数D．区间（0，+∞）上的减函数【答案】A【解析】如图所示，函数y=的图象与函数y=的图象关于y轴对称，所以函数y=是区间（–∞，0）上的增函数．故选A． 3．（2020·全国）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得或所以的定义域为因为在上单调递增所以在上单调递增所以故选：D考点三定义域和值域【例3】（1）（2020·永昌县第四中学高二期末（文））函数的定义域为（）A．B．C．D．（2）（2019·新疆兵团第二师华山中学高二月考（文））函数的值域是（   ）.A．RB．C．D．【答案】（1）C（2）B【解析】（1）要使得函数有意义，只需：且，解得.故函数定义域为.故选：.（2）恒成立，函数的定义域为设由复合函数的单调性可知函数在定义域上先增后减，函数取到最大值即：函数的值域为故选 具体函数的定义域的求解，求解原则如下：（1）分式中分母不为零；（2）偶次根式中被开方数非负；（3）对数中真数大于零，底数大于零且不为；（4）正切函数中，；（5）求定义域只能在原函数解析式中求，不能对解析式变形.【一隅三反】1．（2020·沭阳县修远中学高二期末）函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数的定义域满足：，解得.故选：A.2．（2020·湖南高新技术产业园区·衡阳市一中高三月考）已知函数的定义域是，则函数的定义域是________.【答案】【解析】由题意，函数的定义域是，即，则函数有意义，则满足，解得，解得，即函数的定义域是.故答案为：.3．（2019·北）若函数则函数的值域是（）A．B．C．D． 【答案】A【解析】画出函数的图像如下图所示，由图可知，函数的值域为，故选A.考点四比较大小【例4】（2020·全国高一课时练习）比较下列各组数中两个值的大小．（1）log23.4，log28.5；（2）log0.31.8，log0.32.7；（3）loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1)．【答案】（1）；（2）；（3）当时，；当时，.【解析】（1）根据对数函数在为单调递增函数，因为，所以.（2）根据对数函数在为单调递减函数，因为，所以.（3）根据对数函数的性质，可得：当时，函数在为单调递减函数，因为，所以；当时，函数在为单调递增函数，因为，所以. 比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性．1．若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．2．若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．3．若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大的规律画出函数的图象，再进行比较．4．若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较【一隅三反】1．（2020·辽源市田家炳高级中学校高二期末（文））已知，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】,,,,故选：A2．（2020·哈尔滨市第十二中学校高二期末（文））已知，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，，所以，故选：A.3．（2020·贵州铜仁伟才学校高二期末（文））若，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，故.故选：A.考点五解不等式【例5】（2020·高二期末（文））不等式的解集是________.【答案】 【解析】由在单调递减，因为，所以，解得，，即解集为.故答案为:【一隅三反】1．（2020·安徽马鞍山）已知函数是定义域为的偶函数，在上单调递减，则不等式的解集是（）A．B．（1，3）C．D．【答案】C【解析】因为的图象是由的图象向左平移2个单位，而的图象关于轴对称，故的图象关于直线对称.由在上单调递减可得在上单调递增，故即为，也就是，所以或，解得或，故选：C．2．（2020·湖北）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若实数满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】当时，，，因为是定义在上的奇函数，所以，即.因此，作出的图象如下： 在上单调递增，又，由得：，解得：.故选：A.3．（2019·高三月考）已知函数(>0且≠1)的图像过点(9，2)(1)求函数的解析式；(2)解不等式．【答案】（1）（2）【解析】(1)因为，所以，即(2)因为单调递增，所以即不等式的解集是考点六定点【例6】（2020·山东省枣庄市第十六中学高一期中）函数的图象恒过定点，（其中且），则的坐标为__________.【答案】【解析】令，解得，所以，所以的坐标为，故答案为：【一隅三反】 1.（2020·高一期中）函数的图象必过定点（　　）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵过定点，∴，，故图象必过定点．故选：A．2．（2019·重庆高一月考）函数（，且）的图象恒过点（）A．B．C．D．【答案】B【解析】真数为1时，对数为0，所以令x=2，则f（x）=1，所以函数的图象过定点.考点七图像【例7】（2020·哈尔滨市第十二中学校高二期末（文））函数（且）与函数（且）在同一直角坐标系内的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】当时，和均为减函数，而的图象和的图象关于y轴对称，结合选项知A、B、C、D均错误；当时，和均为增函数，而的图象和的图象关于y轴对称，结合选项可得A正确.故选：A 函数y＝logax(a＞0且a≠1)的底数变化对图象位置的影响．观察图象，注意变化规律：(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a＞1时，a越大，图象向右越靠近x轴，0＜a＜1时a越小，图象向右越靠近x轴．(2)左右比较：比较图象与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．【一隅三反】1．（2020·山东滨州·高二期末）函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】,所以舍B;当时,单调递增，所以舍去CD，故选：A2．（2020·全国高一课时练习）函数y＝2log4(1－x)的图象大致是A．B．C． D．【答案】C【解析】函数的定义域为且单调递减，故选C.3.如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(　　)A．0＜a＜b＜1B．0＜b＜a＜1C．a＞b＞1D．b＞a＞1【答案】B【解析】作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1.考点八对数函数综合运用【例8】（2020·甘肃省会宁县第四中学高二期末（文））已知函数．（1）求的值；（2）求函数的定义域（3）判断函数的奇偶性，并证明.【答案】(1)；(2)；(3)偶函数，证明见解析．【解析】(1)令，则(2)由题意:，解得，故定义域为；(3)函数为偶函数证明：对任意，由偶函数的定义可得函数为偶函数【一隅三反】 1．（2020·湖南桃江·高二期末）已知函数且.（1）求的定义域；（2）解关于的不等式.【答案】（1）当时，定义域为，当时，定义域为；（2）.【解析】（1）由函数有意义得，∴当时，定义域为，当时，定义域为.（2）∵在定义域内，∴∴单调递增，结合定义域可知：的解集为.2．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一期中）已知函数，a常数.（1）若，求证为奇函数，并指出的单调区间；（2）若对于，不等式恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）证明见解析，单调增区间为；（2）.【解析】（1）证明：当时，.的定义域为.当时,.，∴在区间上是奇函数， 的单调增区间为，.（2）由，得.令，若使题中不等式恒成立，只需要.由（1）知在上是增函数，所以.所以m的取值范围是.