4.2指数函数思维导图
常见考法
考点一指数函数的判断【例1-1】（2019·河北桥西.高一月考）下列函数中指数函数的个数是（）①②③④（为常数，，）⑤⑥⑦A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】对①：指数式的系数为2，不是1，故不是指数函数；对②：其指数为，不是，故不是指数函数；对③④：满足指数函数的定义，故都是指数函数；对⑤：是幂函数，不是指数函数；对⑥：指数式的系数为-1，不是1，故不是指数函数；对⑦：指数的底数为-4，不满足底数大于零且不为1的要求，故不是；综上，是指数函数的只有③④，故选：B.【例1-2】（2019·河南中原.高一开学考试）函数f(x)=(a2﹣3a+3)ax是指数函数，则a的值为（）A．1B．3C．2D．1或3【答案】C
【解析】因为函数f(x)=(a2﹣3a+3)ax是指数函数，故可得解得或，当时，不是指数函数，舍去.故选：C.只有形如的函数才是指数函数，系数等于1【一隅三反】1．（2019·山东高三学业考试）函数是指数函数，则（）A．或B．C．D．且【答案】C【解析】因为函数是指数函数所以，且，解得.故选：C.2．（2019·呼和浩特开来中学高一期中）若函数是指数函数,则的值为()A．2B．-2C．D．【答案】D【解析】∵函数f（x）＝（a﹣3）•ax是指数函数，∴a﹣3＝1，a＞0，a≠1，解得a＝8，∴f（x）＝8x，∴f（）2，故选：D．3．（2019·辽宁葫芦岛.高一月考）下列函数不是指数函数的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】指数函数是形如（且）的函数.对于A：，系数不是1，所以不是指数函数；对于B：，符合指数函数的定义，所以是指数函数；对于C：，符合指数函数的定义，所以是指数函数；对于D：，符合指数函数的定义，所以是指数函数.故选：A.考点二定义域和值域【例2-1】（2020·全国高一课时练习）求下列函数的定义域和值域：
（1）；（2）；（3）.【答案】（1）定义域，值域为且；（2）定义域，值域；（3）定义域，值域【解析】（1）要使函数式有意义，则，解得.所以函数的定义域为.因为，所以，即函数的值域为.（2）要使函数式有意义，则，解得，所以函数的定义域为.因为，所以，即函数的值域为.（3）函数的定义域为.因为，所以.又，所以函数的值域为.【例2-2】（2018·湖南开福.高一月考）若函数的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围是_____．【答案】（﹣∞，﹣2]【解析】设，若函数的值域为，，则等价于，是值域的子集，，设，则，则，，当对称轴，即时，不满足条件．当，即时，则判别式△，即，则，即实数的取值范围是，.故答案为：，
1.对于y＝af(x)这类函数，①定义域是指使f(x)有意义的x的取值范围．②值域问题，应分以下两步求解：ⅰ由定义域求出u＝f(x)的值域；ⅱ利用指数函数y＝au的单调性或利用图象求得此函数的值域．2.对于y＝(ax)2＋b·ax＋c这类函数，①定义域是R.②值域可以分以下两步求解：ⅰ设t＝ax，求出t的范围；ⅱ利用二次函数y＝t2＋bt＋c的配方法求函数的值域．【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）求下列函数的定义域和值域；（1）；（2）；（3）.【答案】（1）定义域为R，值域为；（2），；（3），.【解析】（1）的定义域为R，值域为.（2）由知，故的定义域为；由知，故的值域为.（3）的定义域为；由知，故的值域为.2．（2020·全国高一课时练习）求下列函数的定义域与值域.（1）（2）且（3）（4）【答案】（1）定义域为；值域为；（2）定义域为R；值域为(－1，1)；（3）定义域为；值域为且；（4）定义域为；值域为.
【解析】（1），解得：，∴原函数的定义域为，令，则∴原函数的值域为（2）原函数的定义域为R.设，则，，，，，即原函数的值域为.（3）由得，所以函数定义域为，由得，所以函数值域为且.(4)由得，所以函数定义域为，由得，所以函数值域为.3．（2020·河北新华.高二期末）若函数的值域为，则a的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，当时，函数的值域为，即故选：B
4．（2020·云南五华.高三其他（理））设函数的定义域为A，函数的值域为B，则()A．B．C．D．【答案】A【解析】函数定义域满足：，即，所以，函数的值域，所以，故选：A.5．（2019·湖南高一期中）若函数有最大值，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于函数有最大值，所以，且当时，取得最大值为，故.故选：D考点三指数函数性质【例3】（1）（2020·贵溪市实验中学高二期末（文））若函数单调递增,则实数a的取值范围是()A．B．C．D．（2）（2019·湖南岳阳楼.高一期中）已知函数，则不等式的解集为( )A．B．C．D．（3）（2019·湖北襄阳）如果，那么（）A．B．
C．D．【答案】（1）B（2）B(3)C【解析】（1）函数单调递增，解得所以实数的取值范围是．故选：．（2）可知函数为减函数，由，可得，整理得，解得，所以不等式的解集为．故选B.(3)根据函数在是减函数，且，所以，所以，故选C.11.指数函数性质记忆口诀指数增减要看清，抓住底数不放松；反正底数大于0，不等于1已表明；底数若是大于1，图象从下往上增；底数0到1之间，图象从上往下减；无论函数增和减，图象都过(0,1)点．2.比较幂值大小的三种类型及处理方法【一隅三反】1．（2019·浙江南湖.高一月考）函数为增函数的区间是（）
A．B．C．D．【答案】C【解析】∵是减函数，在上递增，在上递减，∴函数的增区间是．故选：C．2．（2019·浙江柯城.衢州二中高三一模）已知定义在R上的函数m为实数）为偶函数，记，，，则()A．B．C．D．【答案】B【解析】为偶函数，，，；；；在，上单调递减，并且，，．故选：．3．（2020·浙江高一课时练习）设，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因为函数在定义域上为单调递增函数，所以．故选：D．4．（2020·永安市第三中学高二月考）若关于的方程有解，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D
【解析】由，得（当且仅当时等号成立），解得故选D5（2020·上海高一课时练习）已知函数，则该函数的单调递增区间是__________.【答案】【解析】由题得函数的定义域为.设，函数在单调递减，在单调递增，函数在其定义域内单调递减，所以在单调递增，在单调递减.故答案为：.6．（2020·上海普陀.曹杨二中高一期末）函数的单调递增区间为________【答案】【解析】函数，根据指数函数单调性可得，函数在单调递增，在单调递减，所以函数的单调递增区间为.故答案为：7．（2020·全国高一课时练习）比较下列各题中的两个值的大小．（1），；（2），1；（3），.【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1）因为，，又指数函数为增函数，且，所以，即.（2），（3），，所以.考点四定点【例4】（2020·浙江高一课时练习）函数（，且）的图象过定点，则点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为的图象恒过点，则的图象恒过点，所以恒过定点.故选.【一隅三反】1．（2019·涡阳县第九中学高二期末）函数的图象必经过点（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数的图象过点，而函数的图象是把函数的图象向上平移1个单位，函数的图象必经过的点．故选：．2．（2019·贵州省织金县第二中学高一期中）函数且过定点（）A．B．C．D．
【答案】D【解析】令，所以函数且过定点．3．（2020·宁夏贺兰县景博中学高一月考）函数y=ax﹣1+2（a＞0且a≠1）图象一定过点（）A．（1，1）B．（1，3）C．（2，0）D．（4，0）【答案】B由x﹣1=0，解得x=1，此时y=1+2=3，即函数的图象过定点（1，3），故选B考点五图像【例5-1】（2020·广东顺德一中高一期中）函数的图像可能是（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴，∴函数需向下平移个单位，不过（0,1）点，所以排除A，当时，∴，所以排除B，当时，∴，所以排除C，故选D.【例5-2】（2020·浙江高一课时练习）若函数的图像在第一、三、四象限内，则（）A．B．，且C．，且D．【答案】B【解析】因为函数的图像在第一、二象限内，
所以欲使其图像在第三、四象限内，必须将向下移动，因为当时，图像向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限，所以只有当时，图像向下移动才可能经过第一、三、四象限，故，因为图像向下移动小于一个单位时，图像经过第一、二、三象限，而向下移动一个单位时，图像恰好经过原点和第一、三象限，所以欲使图像经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故，，故选：B.【一隅三反】1．（2019·浙江高一期中）函数与，其中，且，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是()A．B．C．D．【答案】D【解析】因为函数单调递增，所以排除AC选项；当时，与轴交点纵坐标大于1，函数单调递增，B选项错误；当时，与轴交点纵坐标大于0小于1，函数单调递减；D选项正确.故选：D2．（2020·全国高一课时练习）在如图所示的图象中，二次函数与函数的图象可能是（）A．B．
C．D．【答案】A【解析】根据选项中二次函数图象，可知，根据选项中指数函数的图象，可知，所以，所以二次函数的对称轴在轴左侧，且，所以可排除B、C、D，只有A符合题意.故选：A.3．（2020·上海高一课时练习）若函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是()A．B．C．D．【答案】D【解析】指数函数过点,则函数过点,若图像不经过第二象限,则,即,故选：D4．（2020·高二期末（理））若直线与函数的图象有两个公共点，则的取值范围是___________【答案】【解析】当时，做出图象，如下图所示，直线与函数的图象有两个公共点时，.故答案为:
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