新教材高中数学人教版必修第一册：4.5《函数的应用（二）》精讲(含解析)

4.5函数的应用（二）思维导图常见考法 考点一零点的求解【例1】（2020·武威第六中学高二期末（文））若函数的零点是（），则函数的零点是（）A．B．和C．D．和【答案】B【解析】由条件知，∴，∴的零点为和.故选B.（1）代数法：根据零点的定义，解方程，它的实数解就是函数的零点.（2）几何法：若方程无法求解，可以根据函数的性质及图象求出零点.【一隅三反】1．（2020·全国高三课时练习（理））已知函数f(x)＝，则函数f(x)的零点为（）A．，0B．－2，0C．D．0【答案】D【解析】当时，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当时，令f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为，所以此时方程无解.综上所述，函数f(x)的零点只有0.故选：D 2.已知函数，则函数的零点为________．【答案】0【解析】当时，由，解得；当时，由，解得，又因为，所以此时方程无解．综上，函数的零点为0.考点二零点区间的判断【例2】（2020·湖南娄底·高二期末）函数的零点所在的区间为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】可以求得，所以函数的零点在区间内．故选C．判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．【一隅三反】1．（2020·宁县第二中学高二期中（文））函数f(x)=的零点所在的一个区间是A．（-2，-1）B．（-1,0）C．（0,1）D．（1,2）【答案】B【解析】因为函数f(x)=2+3x在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=,f（0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B．2．（2020·甘肃省岷县第一中学高二月考（文））函数的零点所在区间为（） A．B．C．D．【答案】D【解析】，，，，，，由零点存在定理可知：零点所在区间为.故选：.3．（2020·浙江衢州·高一期末）函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，，，零点所在区间为故选：考点三零点个数的判断【例3】（1）（2020·哈尔滨市第十二中学校高二期末（文））函数的零点个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个（2）（2020·山东省枣庄市第十六中学高一期中）方程的实数解的个数为（）A．1B．2C．3D．0【答案】（1）C（2）A【解析】（1）令，则，即，又，故该方程有两根，且均满足函数定义域.故该函数有两个零点.故选：（2）方程的实数解的个数，即为方程的实数解的个数，即为函数与函数图象的交点的个数，在同一坐标系中作出函数与函数的图象，如图所示： 只有一个交点，所以方程的实数解的个数为1故选：A判断函数零点个数的三种方法(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数．(2)图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．(3)定理法：函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)