新教材高中数学人教版必修第一册：4.3《对数运算》精讲(含解析)

4.3对数的运算思维导图 常见考法 考点一指数对数的转化【例1】（2020·上海高一课时练习）将下列指数式与对数式互化.（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）.（2）.（3）.（4）.【解析】因为由可得，所以(1)由可得；(2)由可得；由可得，所以(3)由可得；(4)由可得. 指数式和对数式的互化.由指数式转化为对数式时，以指数式的底数为底数，指数运算的结果为真数的对数，其结果为指数式的指数；由对数式转化为指数式时，以对数的底数为底数，对数运算的结果为指数的指数，其结果为对数式的真数.【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（）A．与B．与C．与D．与【答案】C【解析】，故正确；，故正确；，，故不正确；，故正确．故选：C．2．（2020·全国高一课时练习）将下列指数式写成对数式：（1）；（2）；（3）；（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）因为，所以.（2）因为，所以.（3）因为，所以. （4）因为，所以.3．（2020·上海高一课时练习）将下列对数式改为指数式：（1），指数式为__________；（2），指数式为__________；（3），指数式为__________；（4），指数式为____________.【答案】【解析】由于，所以：（1），指数式为；（2），指数式为；（3），指数式为；（4），指数式为故答案为：；；；.考点二对数式求值【例2】（2020·全国高一课时练习）求下列各式中x的值：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）2；（4）【解析】（1）因为所以.（2）因为,所以.又所以 （3）因为所以于是（4）因为所以于是【一隅三反】1．（2019·福建省仙游县枫亭中学高一期中）下列四个等式:①;②;③若,则;④若,则.其中正确的是()A．①③B．②④C．①②D．③④【答案】C【解析】①;②;③若,则;④若,则.故选：C2．（2019·安徽金安·高一月考）已知log7[log3(log2x)]＝0，那么＝(　　)A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴，∴，∴．∴．故选D．3．（2020·宁县第二中学高一月考）方程的解__________【答案】【解析】∵，∴，∴经检验满足故答案为：.考点三对数式化简【例3】（1）（2020·湖北黄冈·高一月考）计算：_______.（2）（2020·山西高二期中（文））计算：__________． （3）的值等于______．【答案】（1）2（2）4（3）【解析】（1）原式.故答案为：2.（2）原式故答案为4（3）=．故答案为:．【一隅三反】1．（2020·四川达州·高三其他（文））计算______．【答案】0【解析】由题意.故答案为：.2．（2020·石嘴山市第三中学高二期末（理））______.【答案】【解析】根据对数的运算性质及换底公式化简可得 ，故答案为：.3.log2＋log212－log242；【答案】－【解析】原式＝log2＝log22＝－.4.(lg2)3＋3lg2·lg5＋(lg5)3.【答案】1【解析】原式＝(lg2＋lg5)[(lg2)2－lg2·lg5＋(lg5)2]＋3lg2·lg5＝(lg2)2＋2lg2·lg5＋(lg5)2＝(lg2＋lg5)2＝1.考点四换底公式【例4】（2020·浙江高一课时练习）若，且，则为（）A．0B．1C．1或2D．0或2【答案】D【解析】令，则，，，依换底公式得或.当时，且，故；当时，.故选：D 【一隅三反】1．（2020·上海高一课时练习）_________.【答案】3【解析】原式.故答案为：.2．（2018·江苏省连云港市锦屏高级中学高一期中）设，，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据对数的换底公式得，，故选D．3．（2020·浙江高一课时练习）计算：（1）.（2）.【答案】（1）4；（2）.【解析】（1）.（2）.考点五指数对数运算的综合【例5】（2020年广东湛江）（1）已知，试用表示.（2）若26a＝33b＝62c，求证：＋＝. 【答案】（1）.（2）见解析【解析】（1）.∵∴.则.（2）证明　设26a＝33b＝62c＝k(k＞0)，那么∴∴＋＝6·logk2＋2×3logk3＝logk(26×36)＝6logk6＝3×2logk6＝，即＋＝.【一隅三反】1．（2019·浙江南湖·高一月考）若实数a，b满足，则（）A．B．C．D．1【答案】D【解析】因为，所以，．故选：D．2．（2020·浙江高二月考）若，，则________，________．【答案】1【解析】因为，所以，又，所以，.3．（2020·定远县育才学校高一月考）已知log189＝a，18b＝5，则log3645=（）A．B．C．D． 【答案】D【解析】由得，．故选：D．