新教材高中数学人教版必修第一册：5.4《三角函数的图象与性质》精品讲义(含解析)

5.4三角函数的图象与性质思维导图 常见考法考点一五点画图【例1】（1）（2020·全国高一课时练习）用五点法作出函数的简图.（2）（2020·全国高一课时练习）利用正弦或余弦函数图象作出的图象．【答案】见解析【解析】（1）列表:01001 01210描点，连线，如图.（2）由，所以的图象由的图象轴下方的部分关于轴对称上去，和轴上方的原图象共同组成，如图实线部分所表示的是的图象五点法画图作形如y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)，x∈[0,2π]的图象时，可用“五点法”作图，其步骤是：①列表，取x＝0、、π、、2π；②描点；③用光滑曲线连成图．【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）利用“五点法”作出函数y＝1－sinx(0≤x≤2π)的简图．【答案】见解析【解析】列表： 0010010121作图：2．（2020·全国高一课时练习）利用正弦曲线，求满足的x的集合．【答案】【解析】正弦函数一个周期内的图象如图，满足，由图可知，所以满足的x的集合为3．（2020·武功县普集高级中学高一月考）用五点法作出函数在内的图像.【答案】见解析【解析】列表：0 10－10153135描点得在内的图像（如图所示）：考点二周期【例2】（1）（2020·福建高二学业考试）函数的最小正周期为（）A．B．C．D．（2）（2020年广东潮州）下列函数中，不是周期函数的是(  )A.y＝|cosx|B．y＝cos|x|C．y＝|sinx|D．y＝sin|x|【答案】（1）D（2）D【解析】（1）函数的最小正周期为：故选：D（2）画出y＝sin|x|的图象，易知y＝sin|x|不是周期函数【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）下列函数中,最小正周期为的是()A．B．C．D．【答案】C【解析】对于，周期，错误.对于，周期，错误. 对于，周期，正确.对于，，周期，错误，故选C.2．（2019·云南高二期末）函数的最小正周期为__________．【答案】【解析】由题得函数的最小正周期.故答案为：考点三对称性【例3】（2020·辽宁大连·高一期末）函数的图像的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数令，则，当时，，故选B.【一隅三反】1．（2020·永昌县第四中学高一期末）函数y＝sin的图象的一条对称轴是（）A．x＝－B．x＝C．x＝－D．x＝【答案】C【解析】令，则，当时，，所以C成立，经检验，其他选项都不正确.故选：C2．（2020·校高一期末（理））下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的函数是（） A．B．C．D．【答案】B【解析】先选项C中函数的周期为,故排除C,将,代入A,B,D求得函数值为,而函数在对称轴处取最值.故选:.3．（2020·河南平顶山·高一期末）如果函数的图象关于直线对称，那么取最小值时的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由函数的图象关于直线对称，可得，，即，，取最小值时，即或，即.故取最小值时的值为.故选：D.考点四单调性【例4】（1）（2020·吉林扶余市第一中学高一期中）函数的单调递增区间为（）A．，B．，C．，D．，（2）（2020·吉林扶余市第一中学高一期中）已知函数在上单调递减，则实数的一个值是（）． A．B．C．D．【答案】（1）A（2）C【解析】（1）当，时，函数单调递增，即当，时，函数单调递增.故选：A（2）因为，则，又函数在上单调递减，所以，，因此，，解得：，故选：C．【一隅三反】1．（2020·湖南益阳·高一期末）函数的单调递增区间为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，，得，，即函数的单调递增区间为，故选：．2．（2020·全国高三其他（理））已知函数，对任意，都有 ，并且在区间上不单调，则的最小值是（）A．1B．3C．5D．7【答案】D【解析】由题意，是函数的最大值，，即．，．当时，，在上单调递增，不符合题意；当时，，符合题意.的最小值为7.故选：D．3．（2020·全国高三其他（理））函数在上为增函数，则的值可以是（）A．0B．C．D．【答案】C【解析】对A,,由余弦函数的性质可知在上为减函数，舍去；对B，，在上先减后增，舍去对C,，由余弦函数的性质可知在上为增函数.成立；对D,,在上先增后减，舍去故选：C．考点五奇偶性【例5】（2020·上海黄浦·高一期末）下列函数中，周期是的偶函数为（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】A选项，函数的定义域为R，且，所以函数 为偶函数，周期为；B选项，函数的定义域为R，且，所以函数为奇函数，周期为；C选项，函数的定义与为R，且，所以函数为偶函数，周期为；D选项，函数的定义域为R，且，所以函数为偶函数，不具有周期性.故选：C【一隅三反】1．（2019·贵州高三月考（文））函数是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的偶函数【答案】B【解析】由题意，函数，则，所以函数为奇函数，且最小正周期，故选B.2．（2020·辽宁辽阳·高一期末）下列函数中，周期为的奇函数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，，是奇函数，周期T＝，不符合题意；对于B，y＝sin（2x+3π）＝﹣sin2x，是奇函数，周期T＝，符合题意；对于C，＝-cos2x，是偶函数，不符合题意； 对于D，|sinx|，是偶函数，不符合题意；故选：B．3．（2020·昆明市官渡区第一中学高一开学考试）已知函数，下面结论错误的是（）A．函数的最小正周期为B．函数在区间上是增函数C．函数的图象关于直线对称D．函数是偶函数【答案】B【解析】对于函数，它的周期等于，故正确．令，则，则是的对称轴，故正确．由于，故函数是偶函数，故D正确．利用排除法可得B错误；故选：B．考点六定义域【例6】（1）（2020·宁县第二中学高一期中）函数的定义域是________.（2）（2020·宁县第二中学高一期中）函数的定义域是__________.【答案】（1）（2）【解析】（1）因为，所以，解得，即函数的定义域为故答案为：（2）因为所以，解得，解得，所以或，故函数的定义域为 故答案为：考查函数的定义域，即求使函数有意义的取值范围．求函数定义域的依据(1)整式函数的定义域为R；(2)分式的分母不为零；(3)偶次根式的被开方数不小于零；(4)对数函数的真数必须大于零；(5)正切函数y＝tanx的定义域为；(6)x0中x≠0；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．【一隅三反】1（2020·辽宁沈阳·高一期中）函数的定义域是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，则，故选：B.2．（2020·湖南高一月考）函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知可得，由正弦函数的性质知.故选：C.3．（2020·吉林公主岭·高一期末（理））函数的定义域为（） A．B．C．D．【答案】C【解析】由得所以.故选：C.考点七值域【例7】（1）（2019·福建高三学业考试）函数的最小值是。（2）（2020·全国高二月考（文））在区间上的最小值为______.（3）（2020·全国高一课时练习）函数，且的值域是________________．【答案】（1）（2）0（3）【解析】（1）当时，函数的最小值是，（2）因为，所以，则，，故在区间的最小值为，故答案为：.（3）函数在，值域为，在也单调递增，值域为，综上函数，且的值域是.故答案为：【一隅三反】1．（2019·伊美区第二中学高一月考）求函数的最值，及取最值时x的集合． 【答案】时，；时，．【解析】由已知，∵，∴当，即时，，当，即时，．2．（2020·新疆高三三模（理））f(x)＝2sinωx(0