新教材高中数学人教版必修第一册：5.5《三角恒等变换》精品讲义(含解析)

5.5三角恒等变换思维导图常见考法 考点一两角和差公式【例1】（1）（2020·湖北茅箭·十堰一中月考）cos80sin40sin50cos10的值为（）1233A．B．C．D．2222（2）（2020·海南枫叶国际学校高一期中）cos20cos10sin20sin10=（）13A．sin10B．cos10C．D．22（3）（2020·四川成都·高一期末）求值：tan25tan353tan25tan35（）3A．23B．C．1D．3322（4）（2020·山西高一期中（文））cos15sin195的值为（）223131A．B．C．D．2222【答案】（1）C（2）D（3）D（4）A 3【解析】（1）根据诱导公式，化简得sin10cos50sin50cos10sin（1050）sin（60）2所以选C3（2）cos20cos10sin20sin10=cos2010cos30.故选：D2tan25tan35（3）tan60．1tan25tan35tan25tan353tan25tan35tan(2535)(1tan25tan35)3tan25tan35tan603故选：D．2222（4）由题意，得cos15sin195cos15sin(180+15)2222223cos15sin15cos(4515)cos30，故选A.222【一隅三反】1．（2020·安徽蚌埠·高一期末）求值：cos75cos45sin75sin45（）1313A．B．C．D．2222【答案】C1【解析】解：cos75cos45sin75sin45cos7545cos120，故选：C.22．（2020·镇原中学高一期末）求值：（1）tan10tan503tan10tan50；3tan15（2）.13tan15【答案】（1）3；（2）1.【解析】（1）tan10tan503tan10tan50tan601tan10tan503tan10tan5033tan10tan503tan10tan5033tan15tan60tan15（2）.tan6015tan451.13tan151tan60tan15 3．（2020·湖南娄底·高一期末）下列化简正确的是（）11A．cos82sin52sin82cos52B．sin15sin30sin7524tan48tan72223C．3D．cos15sin151tan48tan722【答案】C1【解析】对于选项A：cos82sin52sin82cos52sin(5282)sin(30)，故A不正确；211对于选项B：sin15sin30sin75sin15cos15sin30sin30sin30，故B不正确；28tan48tan72对于选项C：tan(4872tan1203，故C正确；1tan48tan7222对于选项D：cos15sin151；故D不正确；故选：C考点二给值求值5【例2】（1）（2020·高一期末）已知cos，,0，则tan（）52411A．B．3C．13D．333（2）（2020·湖南娄星·高一期末）已知为锐角，且cos()，则sin（）65433433334334A．B．C．D．101010101（3）（2020·河南高一月考）若0，，cos，22433cos，则cos（）4232535333A．B．C．D．9933【答案】（1）D（2）B（3）D5225sin【解析】（1）cos，,0，sin1cos，tan2，525cos1tan121tan.故选：D41tan123 34（2）∵cos（α）（α为锐角），∴α为锐角，∴sin（α），65665∴sinα＝sin[（α）]＝sin（α）coscos（α）sin6666664331433，故选B．52521033（3）Q0，，则，，22444242422226sin1cos，sin1cos，44342423因此，coscoscoscossinsin2442442442132263.故选：D.33333给值(式)求值的策略(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．【一隅三反】311．（2020·山东聊城·高一期末）角的终边与单位圆的交点坐标为(,)，将的终边绕原点顺时针旋223转，得到角，则cos()（）4626231A．B．C．D．0444【答案】A3113【解析】由角的终边经过点(,)，得sin,cos，2222 3因为角的终边是由角的终边顺时针旋转得到的，4333123226所以sinsin()sincoscossin()44422224333321226coscos()coscossinsin()4442222432612662cos()coscossinsin，故选：A.242443π1π2．（2020·江西省铜鼓中学高一期末）已知tan，tan，则tan的值为（）5424111111A．B．C．D．713137【答案】B3π1【解析】由tan，tan，54231tantanπ4521tantan.441tant13113an452故选：B33123．（2020·阜新市第二高级中学高一期末）已知,,,sin,sin，则45413cos__________．456【答案】653324【解析】∵,,，∴,2,∴cos=1sin．42531225又,，sin,∴cos()=1sin()．4244134413∴cos()cos[()()]cos()cos()sin()sin()4444453125656()()．答案：5135136565考点三给值求角 25【例3】（2020·辽宁沈阳·高一期中）已知为锐角，为钝角且cos，tan3，则的5值为（）32A．B．C．D．4334【答案】A2525sin1【解析】由为锐角且cos，得sin1cos，则tan，55cos21(3)tantan23则tan()1，又(0,),(,)，则(,)，得1tantan122221(3)23.故选：A.4先求出问题角的三角函数值，再根据角的范围求出角【一隅三反】1．（2020·全国高三其他（理））已知sinsinasin，若，且0,，则（）32A．B．C．D．3236【答案】A【解析】当时，sinsinsin等价于sinsinsin，3333331所以sincos即sin，22262752因为0,，所以，所以，解得．故选：A．6666631532．（2020·湖北东西湖·华中师大一附中高一月考）若cos，sin，0，71420，则角的值为（）2 A．B．C．D．4386【答案】B【解析】Q，均为锐角，0，1534311111由cos，sin，得sincos，cos()，若cos()，7147714145311143则sinsin[()]sin()coscos()sin0，14714711与sin0矛盾，故cos()，则1411153431coscos[()]cos()cossin()sin，1471472又(0,)，.故选：B.23433．（2020·江西省铜鼓中学高一期末）已知sin，,.722（1）求sin的值；233（2）若sin(a)，0,，求的值.14224【答案】（1）sin（2）2734321【解析】（1）因为sin，,，所以cos1sin.72721cos4从而sin.2273（2）因为,，0,，所以,2222213所以cos(a)1sin().14 3311343所以sinsin[()]sin()coscos()sin1471473，∴.23考点四二倍角3【例4】（1）（2020·宁夏原州·高三其他（文））若sin()，则cos2（）5247724A．B．C．D．2525252555（2）（2020·全国专题练习（文））计算：coscoscoscos（）1212121231A．B．2213C．D．22（3）（2020·赤峰二中高三三模（理））已知角α的终边经过点(-4,-3)，则cos(2)（）224121224A．B．C．D．25252525【答案】（1）C（2）A（3）A327【解析】（1）sin()sin，cos212sin.故选：C.525（2）552522525coscoscoscoscoscoscoscos12121212121212212252553cossincoscoscos故选：A.121266623（3）因为角α的终边经过点(-4,-3)，所以tan4sincostan24所以cos(2)sin22sincos，22，故选：A2222sincostan125【一隅三反】1．（2020·吴起高级中学高一期末）已知角α的终边经过点P（﹣3，1），则cos2α＝（） 3344A．B．C．D．5555【答案】C33【解析】∵角α的终边经过点P（﹣3，1），∴cosα321210，94则cos2α＝2cos2α﹣1＝21，故选：C.1052．（2020·山西其他（理））已知12cossin，则tan2（）63843A．43B．C．D．0259【答案】C31【解析】因为12cos12cossin63cos6sin，62263所以原式可化为63cos7sin0，所以tan，76322tan7843所以tan222.故选：C.1tan63591713．（2020·四川金牛·高一开学考试（理））设sin，则sin2（）447117A．B．C．D．8888【答案】D121121【解析】∵sin∴sincos，(sincos)，44242161712sincos，sin22sincos，故选：D.8854．（2020·湖南省高三月考）已知α为锐角，sin，则cos＝（）2524334A．B．-C．D．5555 【答案】A225【解析】因为α为锐角，所以0,，所以cos1sin，242255254所以cossin2sincos2.故选：A.222555考点五角的拼凑1【例5】（1）（2020·湖北蔡甸·汉阳一中高三其他（理））若sin()，则cos(2)3337227A．B．C．D．933925（2）（2020·湖南娄底·高一期末）已知cos()，则cos(2)的值为（）6335115A．B．C．D．9999【答案】（1）A（2）C1【解析】sincoscos323632217cos2cos22cos121故选A36639521（2）由题得cos(2)cos(2)cos[2()]2cos()1.故选：C．33669【一隅三反】11．（2020·安徽高二期末（理））已知sin，则sin2（）356223223A．B．C．D．25252525【答案】D223223【解析】因为cos212sin，即cos2，则33253252223sin2sin2cos2．故选：D632325 π2．（2020·全国高三其他（理））已知为第三象限角，且sin222cos2，则sin2的值为（）4777272A．B．C．D．10101010【答案】D2sin22212sin225【解析】sin22cos2sin52525由为第三象限角，所以sin，cos1sin，55423所以sin22sincos，cos212sin，55π272所以sin2sin2cos2．故选：D4210433．（2020·全国高三其他（文））设sincos，则cos2（）653575777A．B．C．D．25252525【答案】D31433343【解析】依题意，sincoscos，即sincos，则2252251344sincos，即cos，225652167故cos22cos2121，332525故选：D.考点六恒等变化1【例6】（1）（2020·安徽相山·月考（理））2cos50（）2tan50132A．1B．C．D．222 22cos51（2）（2020·山西高一期中（理））的值为（）sin40cos40A．-1B．-2C．1D．2【答案】（1）C（2）D14sin50cos50cos50【解析】（1）2cos502tan502sin50312sin100cos502sin6040sin402cos402sin40sin40223.2sin502cos402cos402故选：C22cos51cos102cos102cos102cos10（2）2．故选D．sin40cos40sin40cos402sin40cos40sin80cos10三角函数式化简的常用方法：(1)异角化同角：善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的个数；(2)异名化同名：统一三角函数名称，利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一；(3)异次化同次：统一三角函数的次数，一般利用降幂公式化高次为低次．【一隅三反】311．（2020·海原县第一中学高一期末）计算：的结果是（）cos10sin170A．-4B．-2C．2D．4【答案】A3131【解析】∵cos10sin170cos10sin18010313sin10cos10cos10sin10sin10cos10312sin10cos10222sin1030sin10cos10sin10cos10 2sin204sin201sin204故选A．2sin10cos102sin65sin35cos302．（2018·福建高二期末（文））__________.cos351【答案】2sin65sin35cos30sin3530sin35cos30【解析】cos35cos35sin35cos30cos35sin30sin35cos301sin30.cos3521故答案为：.21cos2013．（2020·全国专题练习（理））sin10tan5_______.2sin20tan53【答案】222cos10cos5sin5cos10【解析】原式sin102cos104sin10cos10sin5cos52sin10cos102sin20cos102sin(3010)cos102sin30cos102cos30sin102sin102sin102sin1033cos30.故答案为：.22